¿Es exacta la siguiente cota de cola de la distribución binomial?

Question

La distribución de Poisson tiene el siguiente límite de cola:

Dado $X \leftarrow Po(\lambda)$ para cualquier $t \geq 1$

$Pr(X \geq t) \leq (\frac{e \lambda}{t})^t$

(Para $t > \lambda$ esto se deduce directamente de la eliminación de la $e^{-\lambda}$ del límite de la cola presentado aquí . Para $t \leq \lambda$ , $\frac{e \lambda}{t} \geq e$ por lo que el límite es trivial ya que $Pr(X \geq t) \leq 1 < e^t$ .)

¿Se aplica este límite a la distribución Binomial (estableciendo $\lambda = np$ )?

Dado $X \leftarrow Bin(n, p)$ ¿es cierto que para todos los $t \geq 1$ , $Pr(X \geq t) \leq (\frac{enp}{t})^t $ ? Si es así, ¿por qué?

Answer 1

Esto se desprende directamente de Límites de Chernoff .

$Pr(X \geq (1 + \delta) \mu) \leq \left( \frac{e^\delta}{(1+\delta)^{1 + \delta}}\right)^\mu = \left( \frac{e}{1+\delta} \right)^{(1 + \delta)\mu} e^{-\mu}$

Por lo tanto, el establecimiento de $t = (1 + \delta) \mu$

$Pr(X \geq t) \leq \left( \frac{e \mu}{t} \right)^t e^{-\mu}$

Aquí $\mu = np$ Así que..:

$$Pr(X \geq t) \leq \left( \frac{enp}{t} \right)^t e^{-np} \leq \left( \frac{enp}{t} \right)^t$$