Cuadrilátero en cuadrado

Question

$S$ es un cuadrado unitario. Se toman cuatro puntos al azar, uno en cada lado de $S$ . Se dibuja un cuadrilátero. Sean los lados de este cuadrilátero $a,b,c,d$ . Demostrar que $2\leq{}a^2+b^2+c^2+d^2\leq{}4$ .

Mis esfuerzos :

Dejemos que

$\begin{align}m^2+t^2&=a^2&\mathfrak{a}\\n^2+o^2&=b^2&\mathfrak{b}\\p^2+q^2&=c^2&\mathfrak{c}\\r^2+s^2&=d^2&\mathfrak{d}\end{align}$

$\mathfrak{a+b+c+d}\text{ gives}$

$m^2+n^2+o^2+p^2+q^2+r^2+s^2+t^2=a^2+b^2+c^2+d^2$

Desde $m+n=o+p=q+r=s+t=1$ ,

Esto da

$1-2mn+1-2op+1-2qr+1-2st=a^2+b^2+c^2+d^2$

Simplificando,

$4-2{(mn+op+qr+st)}=a^2+b^2+c^2+d^2$

Dado que el valor mínimo de $2{(mn+op+qr+st)}$ es $0$ Me sale

$a^2+b^2+c^2+d^2\leq4$ .

¿Hay alguna otra forma de hacerlo? ¿Cómo puedo obtener $2\leq{}a^2+b^2+c^2+d^2$ ?

Answer 1

Desde por AM-GM $$mn+op+qr+ts\leq\left(\frac{m+n}{2}\right)^2+\left(\frac{o+p}{2}\right)^2+\left(\frac{q+r}{2}\right)^2+\left(\frac{t+s}{2}\right)^2=1,$$ obtenemos: $$a^2+b^2+c^2+d^2=4-2(mn+op+qr+ts)\geq4\cdot1-2=2.$$

Answer 2

Para el límite inferior, obsérvese por la desigualdad CS, $$(a^2+b^2+c^2+d^2)\cdot8=(m^2+n^2+\cdots)(1+1+\cdots)\geqslant(m+n+\cdots)^2=4^2$$