Relaciones de anticomutación fermiónica

Question

Para que el principio de exclusión de Pauli sea seguido por los fermiones, necesitamos estos anticomutadores $$[a_{\lambda},a_{\lambda}]_+=0 $$ y $$[a_{\lambda}^{\dagger},a_{\lambda}^{\dagger}]_+=0 $$ Entonces $$n_{\lambda}^{2}=a_{\lambda}^{\dagger}a_{\lambda}a_{\lambda}^{\dagger}a_{\lambda}=a_{\lambda}^{\dagger}\left(1-a_{\lambda}^{\dagger}a_{\lambda}\right)a_{\lambda}=a_{\lambda}^{\dagger}a_{\lambda}=n_{\lambda}.$$ que da $ n_{\lambda}=0,1 $ . Aquí utilizamos el anticomutador $$[a_{\lambda},a_{\lambda^{\prime}}^{\dagger}]_+= \delta_{\lambda,\lambda^{\prime}} $$ Pero podríamos haber utilizado incluso un conmutador en lugar del anticomutador y seguiríamos obteniendo el mismo resultado, es decir, si elegimos $[a_{\lambda},a_{\lambda^{\prime}}^{\dagger}]_{-}=\delta_{\lambda,\lambda^{\prime}} $ entonces $n_{\lambda}^{2}=a_{\lambda}^{\dagger}a_{\lambda}a_{\lambda}^{\dagger}a_{\lambda}=a_{\lambda}^{\dagger}\left(1+a_{\lambda}^{\dagger}a_{\lambda}\right)a_{\lambda}=a_{\lambda}^{\dagger}a_{\lambda}=n_{\lambda} $ que también da $n_{\lambda}=0,1 $
Qué condiciones nos hacen imponer la última relación de anticomutación $$[a_{\lambda},a_{\lambda^{\prime}}^{\dagger}]_+= \delta_{\lambda,\lambda^{\prime}} $$ en lugar de $[a_{\lambda},a_{\lambda^{\prime}}^{\dagger}]_{-}=\delta_{\lambda,\lambda^{\prime}} $ ?

Es decir, no necesitamos que todas las relaciones sean anticomunitarias. Puedo tomar 2 de ellas como anticonmutantes, pero la tercera, es decir, la relación entre el operador de creación y el de aniquilación, como conmutante, y seguir manteniendo la exclusión de Pauli

Answer 1

Supongamos que $a$ y $a^{+}$ los operadores cumplen $$ \left\{ a,a\right\} =0\mbox{ and }\left[a,a^{+}\right]=1 $$ Básicamente tenemos $a^{2}=0$ y $aa^{+}=a^{+}a+1$ .

Ahora considere $aaa^{+}$ .

$$ 0=aaa^{+}=a\left(a^{+}a+1\right)=aa^{+}a+a=a^{+}aa+2a=2a. $$

Así que obtenemos $a=0$ .

Answer 2

Lo necesitamos porque queremos que el estado "ocupado" tenga $n_\lambda=1$ ; voy a omitir el $\lambda$ argumento en todas partes. En otras palabras, necesitamos $$ n a^\dagger |0\rangle \equiv a^\dagger a a^\dagger |0\rangle = 1\cdot a^\dagger $$ Pero el lado izquierdo tiene el operador que es $$a^\dagger a a^\dagger |0\rangle = a^\dagger ([a,a^\dagger]_+ - a^\dagger a) = a^\dagger [a,a^\dagger]_+ $$ donde el último término fue eliminado en el último término porque $(a^\dagger)^2=0$ . Así que exigimos $$a^\dagger[a,a^\dagger]_+ |0\rangle = a^\dagger|0\rangle.$$ En combinación con sus otras condiciones, esto sólo es posible si el anticomutador es uno - podemos "cancelar" el $|0\rangle$ ket vector porque se puede derivar una condición similar para $|1\rangle$ como el vector ket.

Answer 3

Está claro que se equivoca.

Cuando tienes operadores con relaciones de anticonmutación, tienes :

$${a^+}_\lambda {a^+}_{\lambda'} + {a^+}_{\lambda'} {a^+}_{\lambda} = 0 \tag{1}$$

Tomando $\lambda = \lambda'$ , se obtiene :

$${a^+}_\lambda {a^+}_{\lambda} = 0 \tag{2}$$

Si tienes operadores con relaciones de conmutación, tienes :

$${a^+}_\lambda {a^+}_{\lambda'} - {a^+}_{\lambda'} {a^+}_{\lambda} = 0 \tag{3}$$

Tomando $\lambda = \lambda'$ , se obtiene :

$${a^+}_\lambda {a^+}_{\lambda} - {a^+}_{\lambda} {a^+}_{\lambda} = 0 \tag{4}$$ que es una ecuación trivial ( $x=x$ )

Por lo tanto, no es cierto, con las relaciones de conmutación, que usted tiene : ${a^+}_\lambda {a^+}_{\lambda} = 0$ , por lo que su ecuación $n_\lambda ^2=n_\lambda$ es obviamente falso para los operadores con relaciones de conmutación.