¿Elegir 5 canicas entre 100 canicas idénticas?

Question

¿De cuántas maneras puede $5$ las canicas sean elegidas entre $100$ ¿canicas idénticas?

¿Por qué mi libro dice que sólo hay una manera de hacer esta selección?

Answer 1

Como dices en los comentarios que la respuesta a tu problema es $1$ . Creo que depende de la concepción que tengamos de la redacción. Hay dos posibilidades:

1. "Idéntico" está ahí para indicar que el orden en que se toman las canicas no es importante. En este caso, es como si pidieras coger $5$ personas de un grupo de $100$ la gente. Deja que $A_{i}$ ser una persona de este grupo ( $i=1,\dots,100$ ). Entonces, tomando $A_{1}$ , $A_{8}$ , $A_{84}$ , $A_{52}$ , $A_{31}$ es lo mismo que tomar $A_{84}$ , $A_{8}$ , $A_{31}$ , $A_{52}$ , $A_{1}$ Lo que significa que el orden no importa. Para la primera persona que elijas, tienes $100$ posibilidades. Para la segunda, tienes $100-1=99$ y así sucesivamente. Así que tienes $$(100)\cdot(100-1)\cdot(100-2)\cdot(100-3)\cdot(100-4)$$ Pero has contado el mismo grupo demasiadas veces: todas las permutaciones de $5$ gente, en realidad, que es $5!$ . Así que el número total de posibilidades es: $$\frac{(100)\cdot(100-1)\cdot(100-2)\cdot(100-3)\cdot(100-4)}{5!}=\frac{100!}{5!(100-5)!}={100\choose 5}$$

2. "Idéntico" significa que no se puede hacer absolutamente ninguna diferencia entre dos canicas. Entonces, sólo hay una manera de tomar $5$ canicas fuera de $100$ canicas porque no podrás ver la diferencia entre dos opciones.

Es importante señalar que, en combinatoria, rara vez se aplica el segundo caso (lo digo porque no es una cuestión muy interesante, por lo que a menudo veo "idéntico" para decir "no podemos ver la diferencia en términos de orden"). A menudo consideramos que "idéntico" significa que el "orden no importa" y es equivalente a nombrar las canicas y considerarlas como grupo de personas. Pero estoy de acuerdo en que, para evitar confusiones, si queremos la respuesta 1., la redacción correcta debería ser "De cuánta manera, sin importar el orden, podemos tomar $5$ canicas fuera de $100$ canicas?".

En realidad, su libro tiene toda la razón, ya que la redacción debe considerarse completamente idéntica.

Answer 2

Bueno, si cada canica se puede elegir una vez, podemos elegir 5 de 100. Así que tenemos $$\frac{n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)}{5!}$$ opciones en las que $n=100$ . Esto también puede describirse como $$100\choose{5}$$ que equivale a 75287520.

Answer 3

Como las canicas son idénticas, no importa que conjunto de $5$ canicas que cojas, sólo importa cuántos canicas que se llevan. Y siempre estás tomando $5$ canicas. Cualquier conjunto de 5 es indistinguible de cualquier otro conjunto de 5. Así que la respuesta es que hay $\boxed{1}$ manera.