Orden correcto de integración en coordenadas esféricas

Question

Tengo problemas con una integral de la siguiente forma:

$I=\int\limits_a^\infty dr\, r^2\int\limits_0^\pi d\theta\,\sin(\theta)f(r,\theta)$ .

¡Mi problema radica en que estas integrales NO son convergentes conmutativas!

Si primero resolviera la integral sobre $r$ , yo me encargaría de eso $I\rightarrow\infty$ .

Si primero resolviera la integral sobre $\theta$ , yo me encargaría de eso $I=0$ .

Ahora esta integral resulta de tomar una integral de volumen en coordenadas esféricas $(r,\theta,\varphi)$ donde me deshice de $\varphi$ ya que toda la función no dependía de $\varphi$ .

Mi pregunta era si había un orden predefinido en coordenadas esféricas. Para poder reconocer la respuesta correcta.

editar La función $f(r,\theta)$ igual:

$f(r,\theta)=(2\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta))/r.$

Answer 1

Tu integral de volumen es inadecuada. La región de integración es el límite de una cáscara esférica, con un radio interior $a$ a un radio exterior $b$ como el radio exterior $b\rightarrow\infty$ . Así que usted integral es realmente,

$$I=\lim_{b\rightarrow\infty}I(b),\\ \text{where }\,I(b)=\int\limits_a^b dr\, r^2\int\limits_0^\pi d\theta\,\sin(\theta)f(r,\theta).$$

Obsérvese el orden de integración para $I(b)$ claramente no importa ya que el integrando es separable en $r$ y $\theta$ y de cualquier manera llega a $I(b)=(b-a)\cdot 0=0$ .

Por lo tanto, $$I=\lim_{b\rightarrow\infty}I(b)=\lim_{b\rightarrow\infty}0=0.$$