Dejemos que $\sum_{n=1}^{} a_n$ sea una serie convergente, considere una secuencia creciente donde $n_1<n_2<...$ y definir
- $b_1=a_1+...+a_{n_1}$ ;
- $b_2=a_{n_1+1}+...+a_{n_2}$ ;
- $b_3=a_{n_2+1}+...+a_{n_3}$ y así sucesivamente.
Demostrar que $\sum_{n=1}^{}b_n=\sum_{n=1}^{}a_n$
Por lo tanto, sé que $\sum_{n=1}^{} a_n=a_1+a_2+a_3+...$
Y sé que $\sum_{n=1}^{}b_n=b_1+b_2+b_3+...=a_1+...+a_{n_1}+a_{n_1+1}+...+a_{n_2}+a_{n_2+1}+...+a_{n_3}+...$
¿Pero cómo puedo demostrar que son iguales?
Que la serie converja a $L$ . Por lo tanto, $$ {\exists M\ \ \ ,\ \ \ n>M\implies|\sum_{i=1}^n a_i-L|<\epsilon_1}. $$ Todo lo que tienes que probar, es que $$ \exists N\ \ \ , \ \ \ m,n>N\implies |\sum_{i=1}^m a_i-\sum_{i=1}^n b_i|<\epsilon_2, $$ expresando $b_n$ en términos de $a_n$ en una serie acotada. ¿Puedes terminar ahora?
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