Si $f^4$ es medible, es $f$ ¿se puede medir?

Question

Si $f^4$ es medible, es $f$ ¿se puede medir?

Sé que si $g$ es continua en $\mathbb{R}$ y $f$ medible, entonces $g\circ f$ es medible en $\mathbb{R}$ .

Si $g(x)=x^4$ entonces $(g\circ f)(x)=f^4(x)$ .

Tengo eso $g$ es continua. Así que $(g\circ f)$ medible si $f$ es medible. ¿Es cierta mi conclusión?

Answer 1

Esto no es correcto. Dejemos que $M$ sea un conjunto no medible. Entonces $$f(x)=1\text{ if }x\in M,f(x)=-1\text{ otherwise}$$ entonces $f$ no es medible, pero $f(x)^4$ es constante $1$ por lo tanto, medible.

Answer 2

Dejemos que $\mathcal N$ un conjunto no medible. ¿Qué opina de $$f(x)=\begin{cases}1&x\in \mathcal N\\-1&x\in \mathcal N^c\end{cases}\ ?$$