Ejemplo de una matriz con un disco de gersgorin que no contiene ningún valor propio

Question

Busco un ejemplo de matriz $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ con la propiedad de que

1. al menos un Disco Gersgorin $\Gamma_i$ no contiene ningún valor propio de $A$
2. para un subconjunto propio no vacío $S$ de $N=\lbrace1,2,\dots,n\rbrace$ (es decir $\emptyset \neq S \subsetneq N) $ tiene $$\left(\bigcup_{i\in S} \Gamma_i\right)\cap \left(\bigcup_{i\in N\setminus S} \Gamma_i\right) = \emptyset$$

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Tengo un ejemplo para $n=7$ (en Gersgorin y sus círculos, por R.S. Varga):

$A=\left(\begin{array}{ccccccc} 0&4&0&0&0&0&0 \\ 1&2&0&0&0&0&0 \\ 0&1&-2&0&0&0&0 \\ 0&0&1/8&-i&1/8&0&0 \\ 0&0&0&1/4& -2i&1/4&0 \\ 0&0&0&0&0&9/2&1/2\\ 0&0&0&0&0&1/2&-9/2 \end{array} \right)$

En este caso $\Gamma_2 = \left\lbrace c\in\mathbb{C}\,:\,\left|c-2 \right|\leq 1\right\rbrace$ no contiene ningún valor propio de $A$ pero (2) no se cumple en este ejemplo.

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Un esbozo de lo que estoy buscando podría ser así:

Aquí $\Gamma_2\cup\Gamma_3$ contiene los valores propios $\lambda_2$ y $\lambda_3$ pero $\Gamma_3$ no contiene ningún valor propio.

¿Tiene usted un ejemplo de este tipo para mí o alguna idea de cómo construir un ejemplo de este tipo? ( $n$ no debe ser demasiado grande, $3\leq n\leq5$ sería perfecto, porque quiero discutir este ejemplo durante una presentación)

Gracias de antemano

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Debido a Robert Israels respuesta He encontrado un ejemplo con:

$A=\left(\begin{array}{ccc} 1&-1&0 \\ 2&-1&0 \\ 0&1&4 \end{array}\right)$

Ahora $\Gamma_1$ está vacía, $\Gamma_2$ contiene los valores propios $i$ y $-i$ y $\Gamma_3$ contiene el valor propio $4$ . Exactamente lo que buscaba.

Answer 1

Un ejemplo $A$ que satisface (1), y considerar la matriz de bloques $\pmatrix{A & 0\cr b & t\cr}$ para algún tipo de $b$ y $t$ .