La pregunta:
$$\log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5 x = \log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5 x \cdot \log_5 x \cdot \log_4 x \cdot \log_3 x$$
A mi madre, que es profesora de matemáticas, uno de sus alumnos le ha preguntado esto y no acaba de entenderlo. ¿Alguien tiene alguna idea?
Siguiendo la respuesta de Jaeyong Chung, y trabajando en ello:
$$ 1 =\log_3x\log_4x\log_5x$$ $$1=\frac{(\ln x)^3}{\ln3\ln4\ln5}$$ $$(\ln x)^3 = \ln3\ln4\ln5$$ $$(\ln x) = \sqrt[3]{\ln3\ln4\ln5}$$ $$x = \exp\left(\sqrt[3]{\ln3\ln4\ln5}\right) \approx 3.85093$$
EDIT: Y, por supuesto, la respuesta obvia que todos pasarán por alto: $x=1$ hace que ambos lados de la ecuación sean cero. :D
Dada:
$$\log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5 x = \log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5 x \cdot \log_5 x \cdot \log_4 x \cdot \log_3 x$$
Una solución inmediatamente obvia es $x = 1$ . Independientemente de la base $b$ , $\log_b 1 = 0$ . Así que $x = 1$ es una solución: anula todos los factores simultáneamente, haciendo que la ecuación sea verdadera.
Así que a buscar otras soluciones.
En primer lugar, observe los factores que se repiten en el lado derecho, que se condensan en un término cuadrado:
$$\log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5 x = \left(\log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5\right)^2$$
Sustituye z por la subexpresión repetida: deja que $z = \log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5 x$ . Obtenemos entonces una forma simplificada que aclara la relación:
$$z = z^2$$
Esta cuadrática tiene dos soluciones:
$$z \in \lbrace 0, 1 \rbrace$$
Que corresponde a estos dos casos cuando volvemos a sustituir los factores logarítmicos originales por $z$ :
$$\log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5 x \in \lbrace 0, 1 \rbrace$$
Pero el caso cero corresponde al $x = 1$ solución que ya conocemos, por lo que a partir de ahora sólo nos interesa el segundo caso:
$$\log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5 x = 1$$
Podemos convertir los logaritmos a una base común, eligiendo arbitrariamente 3:
$$\log_3 x \cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 4} \cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 5} = 1$$
$$\frac{\left(\log_3x\right)^3}{\log_3 4\cdot \log_3 5} = 1$$
$$\left(\log_3x\right)^3 = {\log_3 4\cdot \log_3 5}$$
$$\log_3x = \left(\log_3 4\cdot \log_3 5\right)^{1/3}$$
$$x = 3^{\left(\log_3 4\cdot \log_3 5\right)^{1/3}}$$
Esto es aproximadamente $3.8509$ .
Si el objetivo es obtener una cifra decimal con una calculadora, es mejor utilizar la base 10 como base común en lugar de 3, y esta base también es mejor que $e$ . A continuación, podemos utilizar una calculadora que sólo proporciona una función logarítmica de base 10, y una $x^y$ que son más comunes que el soporte para el registro natural, y una base $e$ función exp, o la disponibilidad de $e$ como una constante. A continuación, debe entenderse que $\log$ se refiere a $\log_{10}$ :
$$\frac{\log x}{\log 3}\cdot\frac{\log x}{\log 4} \cdot \frac{\log x}{\log 5} = 1$$
$$\left(\log x\right)^3 = \log 3\cdot\log 4\cdot \log 5$$
$$\log x = \left(\log 3\cdot\log 4\cdot \log 5\right)^{1/3}$$
$$x = 10^{\left(\log 3\cdot\log 4\cdot \log 5\right)^{1/3}}$$
Como en el caso anterior, utilice $$log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}$$ Por lo tanto, $$\log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5 x = 1$$ se convertiría en $$\frac{\ln x \cdot \ln x \cdot \ln x}{\ln 3 \cdot \ln 4 \cdot \ln5}=1$$
Así, $$(\ln x)^3=\ln 3 \cdot \ln 4 \cdot \ln 5=2.45117$$
Por lo tanto, $$\ln x = 1.34831$$
Esto da $x$ como $$x=e^{1.34831}=3.85091$$ aproximadamente.
EDITAR: En este caso, suponemos que $x \neq 1$ . Así que $x=1$ es también una posible solución.
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