Vamos a tener $g(x)$ sea el polinomio generador de un código cíclico $C=<g(x)>$ . Para cualquier $h(x)\in C$ ¿Cuál sería la condición para que $<h(x)> = <g(x)>$ - lo que significa que h(x) genera el código (aunque no sea necesariamente EL polinimio generador)?
Necesitarías $h(x)$ y $g(x)$ para generar el mismo ideal de $\mathbb{F}[x]/(x^n -1)$ . Usted tiene automáticamente $\langle h(x) \rangle \subseteq \langle g(x) \rangle$ . Es necesario tener $g(x)$ sea un múltiplo de $h(x)$ para garantizar la igualdad. Como $h(x)$ es ya un múltiplo de $g(x)$ Esto significa que necesita tener $h(x)$ y $g(x)$ difieren en una unidad de $\mathbb{F}[x]/(x^n -1)$ .
Por ejemplo, en $\mathbb{F}_{3}[x]/(x^3 -1)$ , considere el código generado por $g(x) = x+1$ . Entonces el polinomio $h(x) = -x^{2} -1 = (-x^2)(x+1)$ y $-x^{2}$ es una unidad (ya que $(-x^{2})(-x)$$ = x^{3} = (x^{3}-1)+1 = 1 $). Therefore $ h(x)$ también generará el código.
Una unidad de $R=\mathbb{F}[x]/(x^{n}-1)$ es un elemento que tiene un inverso. Obsérvese que aunque $\mathbb{F}$ es un campo, $R$ es un anillo y, por tanto, no todo elemento tiene un inverso. Los elementos de la forma $ax^{k}$ , donde $a \in \mathbb{F}$ ( $a \neq 0$ ) y $0 \leq k < n$ son unidades. Hay otros; cualquier polinomio que no tenga factores comunes con $x^{n}-1$ también es una unidad. Sin embargo, no puedo dar una manera fácil de encontrar todos estos (aunque esto proporciona una manera de comprobar si un elemento es una unidad; muchos paquetes de álgebra proporcionan una manera de comprobar el GCD de dos polinomios).
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El generador $g(x)$ de un código cíclico suele ser un factor de $x^n-1$ . Como $h(x)$ y $\gcd(h(x),x^n-1)$ generar el mismo código cíclico, esto le da la prueba: comprobar si $g(x)=\gcd(h(x),x^n-1)$ .