¿El AUC por tiempo no es más que la media?

Question

El uso de AUC está de moda y ha encontrado su lugar también en la investigación clínica ( ejemplo ). Lo que no entiendo es AUC por tiempo . Por ejemplo, si se mide un parámetro clínico o psicológico a lo largo del tiempo. Mi suposición es:
El AUC por tiempo utilizando la regla del trapecio no es otra cosa que la media de las mediciones.

Si este es el caso, ¿por qué no usar la media?

Answer 1

Supongamos que las mediciones son $y_1, \dots, y_{n+1}$ tomada a veces $a = t_1 < t_2 < \cdots < t_n < t_{n+1}= b$ .

Entonces el área bajo la curva (AUC) utilizando la regla trapezoidal viene dada por $$\text{AUC} = \frac12 \sum_{i=1}^{n} (t_{i+1}-t_i) (y_{i+1} + y_i).$$

En primer lugar, supongamos que los intervalos son iguales. Entonces, para cada $i$ tendríamos $$t_{i+1} - t_i = \frac {b-a} {n}.$$ Esto se debe a que, aunque tengamos $n+1$ puntos, sólo hay $n$ intervalos.

Entonces, cuando normalizamos el AUC por $b-a$ Tendríamos $$\frac{\text{AUC}}{b-a} = \frac12 \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} (y_{i+1} + y_i) =\frac{1}{2n}y_1 + \frac{1}{n}\sum_{i=2}^{n}y_i + \frac{1}{2n}y_{n+1}.$$ Así que, intuitivamente, aunque parezca que si los intervalos estuvieran igualmente espaciados, entonces veríamos algo parecido a la media, en realidad estamos un poco equivocados. Podría ser igual a la media --- por ejemplo, considere el caso en el que todos los $y_i$ son iguales a 0.

Si miramos más de cerca, vemos que $$\begin{align} \text{AUC} & = \frac12\sum_{i=1}^n (t_{i+1}-t_i) y_{i+1} + \frac12 \sum_{i=1}^n (t_{i+1}-t_i)y_i \\ &=\frac12 (t_2-t_1)y_1 + \frac12 (t_{n+1}-t_n)y_{n+1} + \frac12\sum_{i=2}^{n} (t_{i+1}-t_{i-1}) y_{i}. \end{align}$$

Normalización por $b-a$ de nuevo, obtenemos $$\begin{align} \frac{\text{AUC}}{b-a} & = &=\frac{(t_2-t_1)}{2(b-a)}y_1 + \frac{(t_{n+1}-t_n)}{2(b-a)}y_{n+1} + \frac12\sum_{i=2}^{n} \frac{(t_{i+1}-t_{i-1})}{(b-a)} y_{i}. \end{align}$$

El AUC por tiempo utilizando la regla del trapecio no es otra cosa que la media de las mediciones.

No necesariamente, creo. De nuevo, es posible que sea igual a la media, pero no tiene por qué ser así.

Intuitivamente, se puede ver que los puntos de datos que se toman en medio de grandes intervalos de tiempo se ponderan más que otros puntos. Los puntos que están más próximos en el tiempo reciben menos peso.