En el espacio de la secuencia de Lorentz $d(w,1)$

Question

Estoy interesado en ejemplos de espacios duales de Banach $X$ con la propiedad de Schur (secuencias débilmente convergentes en $X$ son normativamente convergentes) como $\ell_1$ . Los espacios de Lorentz $d(w,1)$ [Lindenstrauss y Tzafriri. Espacios clásicos de Banach I. Espacios de secuencia. Sección 4.3] son candidatos porque admiten un predual y son heredables. $\ell_1$ (Proposición 4.e.3 en la referencia citada).

Los espacios $d(w,1)$ ¿tiene la propiedad de Schur?

Answer 1

No. La base vectorial unitaria $(e_n)$ es incondicional y simétrica, pero no es equivalente a la base vectorial unitaria para $\ell_1$ Por lo tanto $(e_n)$ converge débilmente a cero.

Answer 2

Por Rosenthal's $\ell_1$ Teorema, toda secuencia básica normalizada en $X$ o bien admite una subsecuencia equivalente a la base canónica de $\ell_1$ o bien admite una secuencia básica normalizada de 2 bloques que es débilmente nula. Si $X$ tiene la propiedad de Schur, se deduce que toda secuencia básica normalizada admite una subsecuencia equivalente a la base canónica de $\ell_1$ . ¿Qué tipo de espacios pueden tener esta propiedad?

Se me ocurren dos candidatos interesantes. En primer lugar, se podría intentar $X=(\oplus\ell_2^n)_{\ell_1}$ . En segundo lugar, podría dejar que $X=S^*$ , donde $S$ es el espacio de Schreier, es decir, la terminación de $c_{00}$ bajo la norma $\|(a_n)\|_S=\|(a_n)\|_\infty\vee\sup_{F\in\mathcal{S}_1}\|(a_n)_{n\in F}\|_{\ell_1}$ . (Aquí, $\mathcal{S}_1$ denota la primera familia Schreier). No sé si estos espacios tienen la propiedad de Schur, pero tengo la firme sospecha de que $(\ell_2^n)_{\ell_1}$ lo tiene. Soy menos optimista sobre $S^*$ pero aún así vale la pena mirarlo.

EDIT: La razón por la que sospecho $S*$ es porque $S$ es conocido por ser $c_0$ -saturado. Como también es (uniformemente) subproyectiva, eso significa $S^*$ es $\ell_1$ -saturado. ¿Implica esto la propiedad de Schur? Incluso si no, lo hace plausible.