Solución de la siguiente EDP no lineal

Question

Encontrar la solución general de la EDP $$x^2u_x^2+y^2u_y^2=u^2$$ Solución:

cuando utilizamos la transformación $v=\ln u$ (o $u=e^v$ ), obtenemos $x^2v_x^2+y^2v_y^2=1$ .

Y mediante el uso de la separación de variables $v(x,y)=f(x)+g(y)$ Tengo el $x^2f'^2=\lambda^2$ y $g'^2=(1-\lambda^2)/y^2$ .

¿Y cómo podemos resolver el resto?

Answer 1

Una pista:

Dejemos que $u=e^v$ ,

Entonces $u_x=e^vv_x$

$u_y=e^vv_y$

$\therefore x^2e^{2v}v_x^2+y^2e^{2v}v_y^2=e^{2v}$

$x^2v_x^2+y^2v_y^2=1$

Dejemos que $\begin{cases}p=\ln x\\q=\ln y\end{cases}$ ,

Entonces $v_x=v_pp_x+v_qq_x=\dfrac{v_p}{x}$

$v_y=v_pp_y+v_qq_y=\dfrac{v_q}{y}$

$\therefore x^2\dfrac{v_p^2}{x^2}+y^2\dfrac{v_q^2}{y^2}=1$

$v_p^2+v_q^2=1$

Answer 2

Por qué no utilizar la separación de variables desde el principio. Introduzca $u=X(x)Y(y)$ para conseguir

$$x^2X'^2Y^2+y^2X^2Y'^2=X^2Y^2 \implies \frac{x^2X'^2}{X^2}+\frac{y^2Y'^2}{Y^2}=1$$

Está claro que la ecuación sólo puede ser cierta si $\frac{x^2X'^2}{X^2}$ y $\frac{y^2Y'^2}{Y^2}$ son constantes tales que su suma es igual a 1. Así obtenemos dos ecuaciones diferenciales ordinarias:

$$X'(x)^2=k^2\frac{X^2(x)}{x^2}$$ $$Y'(y)^2=(1-k^2)\frac{Y(y)^2}{y^2}$$

Ahora tomamos la raíz cuadrada de ambas expresiones

$$X'(x)=\pm k\frac{X(x)}{x} \implies X(x)=c_1x^{\pm k}$$ $$Y'(y)=\pm \sqrt{1-k^2}\frac{Y(y)}{y} \implies Y(y)=c_2y^{\pm \sqrt{1-k^2}}.$$

Ahora, la solución por separación de variables viene dada por $$u(x,y)=c_1c_2x^{\pm k}y^{\pm \sqrt{1-k^2}}.$$

Tenga en cuenta que no puede superponer diferentes soluciones para $k$ ya que la ecuación diferencial no es lineal.

EDITAR : Si quieres resolver

$$f'(x)^2=\frac{\lambda^2}{x^{2}}\implies f'(x)=\pm\frac{\lambda}{x} \implies f(x)=\pm \lambda\ln x +c_1$$

$$g'(y)^2=\frac{1-\lambda^2}{y^2} \implies g'(y)=\pm\frac{\sqrt{1-\lambda^2}}{y} \implies g(y)=\pm\sqrt{1-\lambda^2}\ln y +c_2$$

Verá que $|\lambda|\leq 1$ es una restricción lateral tal que las soluciones siguen siendo reales.