Es el verdadero? $$\sum_{x_1+x_2+...+x_n=n}\ \ \, \prod_{i=1}^{n}{k_i\choose x_i}={\sum_{i=1}^{n}k_i \choose n} .$$
Traté de usar la multinomial teorema, pero no parece aplicable.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Combinatoriamente la igualdad es obvio. Cada forma de recoger $n$ elementos de $k_1+k_2+\cdots+k_n$ elementos de la cantidad a la elección de $x_1$ desde el primer $k_1$, $x_2$ a partir de la próxima $k_2$, y así todo el camino, a $x_n$ de $k_n$, donde el número total de elementos recogidos es $x_1+\cdots+x_n=n$ (con algunos de los sumandos, posiblemente, de ser $0$): el número de maneras de hacer esto es ${k_1\choose x_1}{k_2\choose x_2}\cdots{k_n\choose x_n}$ debido a que las selecciones son independientes. Ahora suma de todos los $x_i$ $\small\sum x_i=n$ y listo.
Esto puede ser visto de manera más formal con la generación de funciones. Escribir $K=k_1+\cdots k_n$, de modo que $$(1+u)^K=\sum_{m=0}^K{k_1+\cdots+k_n\choose m}u^m$$ que es también igual a la $$(1+u)^{k_1}(1+u)^{k_2}\cdots(1+u)^{k_n}=\large\prod_{i=1}^n\left(\sum_{\ell_i=0}^{k_i}{k_i\choose\ell_i}u^{\ell_i}\right)$$ de modo que el coeficiente de $u^m$ (nota: esto es más general que sólo el $m=n$ de los casos) es el producto de todos los factores de la forma ${k_i\choose\ell_i}$ $0\le\ell_i\le\ k_i$ cuando la $\ell_i$'s se suman a $m$. Nota sin embargo que si $\ell_i>k_i$ el coeficiente binomial es$0$, por lo que no hace ninguna diferencia si añadimos también en los productos de los factores con cualquiera de las $\ell_i$'s de romper la desigualdad: en otras palabras, podemos escribir $$=\large\sum_{m=0}^K\left(\sum_{\ell_1+\cdots+\ell_n=m}\;\;\prod_{i=1}^n{k_i\choose\ell_i}\right)u^m.$$ Igualando los coeficientes da la deseada igualdad.
