primo dividiendo un número

Question

Si $p$ es un primo que satisface $n<p<2n$ , demuestran que $\binom{2n}{n}\equiv 0\mod p$ .

Ver que $$\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{n!n!}=\frac{2n\cdot (2n-1)\cdot (2n-2)\cdots (n+1)}{n\cdots 3\cdot 2\cdot 1}$$

$p$ se encuentra entre $n$ y $2n$ así que $p$ divide $2n\cdot (2n-1)\cdot (2n-2)\cdots (n+1)$ .

Ahora, el denominador tiene $2n$ por lo que se anula con $2n$ en el numerador dejando

\begin{align} \frac{(2n-1)\cdot (2n-2)\cdots (n+1)}{(n-1)\cdots 3\cdot 1} &= \frac{(2n-1)\cdot 2(n-1)\cdots (n+1)}{(n-1)\cdots 3\cdot 1} \\[0.3cm] &= \frac{(2n-1)\cdot 2\cdot (2n-3)\cdot 2\cdots (n+1)}{(n-2)\cdots 3\cdot 1} \end{align}

No estoy muy seguro de cómo proceder..

Veo que $n-2$ en el denominador se anula con $2n-4$ en el numerador y así sucesivamente... Como $p$ ya está fuera del negocio, no hay $p$ y estamos cancelando $2(n-k)$ así que no son primos...

Answer 1

Lo más fácil es utilizar el hecho de la teoría de los números de que $p\mid ab$ implica $p\mid a$ o $p\mid b$ . En este caso dejemos $a={2n\choose n}$ y $b=n!n!$ . Entonces $ab=(2n)!$ que es divisible por cualquier $p$ menos de $2n$ , mientras que $b$ no es divisible por ningún $p$ mayor que $n$ .