Un ejemplo de no $\mu^*$ -conjunto medible bajo la función de proyección

Question

Tengo este problema y estoy atascado. Agradecería cualquier ayuda. Gracias.

Dejemos que $\lambda^*$ sea la medida exterior de Lebesgue en $\mathbb{R}$ y $\pi_x(x,y)=x$ sea la proyección sobre el eje x. Definir una función $\mu^*: \mathfrak{B}(\mathbb{R}^2)\rightarrow[0,\infty]$ por

$$\mu^*(B)=\lambda^*(\pi_x(B))$$

Encuentre un ejemplo sencillo de un conjunto $B\subset \mathbb{R}^2$ que no es $\mu^*$ -Medible.

Sé que tengo que mostrar $\mu^*(A)\neq\mu^*(A\cap B)+\mu^*(A\cap B^\complement)$ pero no sé realmente cómo elegir $B$ .

Answer 1

Dejemos que $E$ sea un conjunto no medible en $\mathbb R$ para que $\lambda^{*}(A) \neq \lambda^{*}(A \cap E)+\lambda^{*}(A\cap E^{c})$ para algunos $A$ . Sea $B=E\times \mathbb R$ . Si $C=A\times \mathbb R$ entonces $\mu ^{*}(C) \neq \mu^{*}(C \cap B)+\mu^{*}(C\cap B^{c})$ Así que $B$ no es $\mu^{*}$ medible.