Para un grupo de orden $n$ congruente con $4$ mod $8$ El Sylow $2$ -el subgrupo tiene orden $4$ y, por tanto, es cíclico o abeliano elemental.
En el primer caso (Sylow cíclico) sabemos que hay un complemento normal, y claramente en el otro caso puede no haberlo. Un ejemplo de ello es el grupo alterno $A_5$ o cualquiera de los otros grupos simples de orden $4$ mod $8$ . Pero todos los grupos simples de ese tamaño $3$ divide el orden del grupo.
¿Es posible que si $3$ no divide el orden del grupo, entonces sí obtenemos un complemento normal? ¿Alguien tiene un ejemplo contrario, o una referencia? Edición: Gracias por las pistas. El teorema de Burnsides funciona bien si el grupo de bajo 2 es cíclico, pero necesita ayuda si el subgrupo de bajo 2 es el grupo no cíclico de orden 4. Esa es la razón de la hipótesis de que 3 no divide el orden del grupo. Por ahora no veo cómo aplicar esto. Como señalan más adelante DH y JL, la clave está en que la acción del normalizador N del subgrupo sylow sobre sí mismo da un homomorfismo al grupo de automorfismo de C_2 x C_2, que es S3. El núcleo de este homomorfismo es el centro de N, por lo que N/Center(N) inyecta en S3. Pero N no tiene elementos de orden 3, ya que G no los tiene.
