De ahí la $i$ en la definición del corchete de Poisson de QM?

Question

En la página 87 de la obra de Dirac Mecánica Cuántica introduce el análogo cuántico del clásico corchete de Poisson $^1$

$$ [u,v]~=~\sum_r \left( \frac{\partial u}{\partial q_r}\frac{\partial u}{\partial p_r}- \frac{\partial u}{\partial p_r}\frac{\partial u}{\partial q_r}\right) \tag{1}$$

como

$$uv-vu ~=~i~\hbar~[u,v]. \tag{7}$$

No me preocupa el $\hbar$ pero si hay una explicación (alternativa) de por qué la introducción de $i$ es inevitable que pueda ayudar.

---

$^1$ Nótese que Dirac utiliza corchetes para denotar el Soporte de Poisson .

Answer 1

La unidad imaginaria $i$ está ahí para convertir los observables cuánticos/operadores autoadjuntos en operadores antiadjuntos, de modo que formen un Álgebra de Lie wrt. el conmutador.

O, de forma equivalente, considerar el álgebra de Lie de los observables cuánticos/operadores autoadjuntos con el conmutador dividido con $i$ como soporte de Lie.

Esta última álgebra de Lie corresponde a su vez al álgebra de Poisson de las funciones clásicas, véase el principio de correspondencia .

Answer 2

Es inevitable: No.

Es conveniente: Sí.

Por qué: porque dados dos operadores hermitianos $A,B$ su conmutador es antihermitiano.