Demostrar que un espacio vectorial es isomorfo

Question

Dejemos que $F = \mathbb{R}, V = \mathbb{C}, W = \{f \in P_2(\Bbb R) \mid f(3) = 0\}.$ Determina si estos espacios vectoriales son o no isomorfos.

Trabajos:

Sé que $V \cong W$ si $\dim(V) = \dim(W)$

Así que $\dim (V) = 2$ ya que la base de $\mathbb{C}$ es $\{1,i\}$

Y el $\dim(P_2(\mathbb{R})) = 3$

Así que como $\dim(V) \neq \dim(W)$ . No son isomórficos.

No estoy seguro de haberlo hecho bien. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

No calculaste $\dim(W)$ , has calculado $\dim(P_2(\mathbb{R}))$ . No son lo mismo.

El mapa de evaluación $e_3(f) : f\mapsto f(3)$ es un mapa lineal. Es un mapa claramente sobreyectivo desde $P_2(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ . $W=\ker e_3$ . Como ha mencionado $\dim P_2 = 3$ y $\dim \mathbb{R}=1$ . Así, $\dim W + 1 =3$ por nulidad de rango, o $\dim W =2$ . Así, $W\cong V$ ya que tienen la misma dimensión.

Answer 2

Si $f(x)$ es un polinomio y $f(3)=0$ entonces $f(x)=(x-3)(\cdots\cdots)$ , donde $\text{“}\cdots\cdots\text{''}$ es un polinomio.

Si $\deg f(x)\le 2$ entonces $\deg(\text{“}\cdots\cdots\text{''})\le1$ . Así que tienes $f(x) = (x-3)(ax+b)$ para algunos escalares $a$ y $b$ (en este contexto estás interpretando "escalar" como un número real; en otros contextos significa un número complejo).

Así que toma dos escalares $a$ y $b$ para especificar un miembro del espacio de polinomios que desaparecen en $3$ . Eso sugiere que el espacio es $2$ -dimensional. Busquemos una base para ello. ¿Qué tal esto? $$ \Big\{ (x-3)x,\ (x-3) \Big\} $$ Así que $\{1,i\}$ es una base de $\mathbb C$ y aquí tenemos una base de este otro espacio.

Aquí hay un isomorfismo: \begin{align} 1 & \mapsto (x-3) \\ i & \mapsto (x-3)x \\ \Big(\text{any linear combination of $1$ and $i$}\Big) & \mapsto \Big(\text{the same linear combination of $(x-3)$ and $(x-3)x$}\Big) \end{align}