Un fragmento del Ejercicio 1.3.4 en _Teoría de Modelos Cortos_ de Hodges

Question

Lo siguiente es lo que creo que es necesario para resolver el ejercicio 1.3.4 en Teoría del modelo más corto por Hodges.

Dadas dos estructuras $\mathcal {A, B}$ de la misma firma $\tau$ , un conjunto $S$ de generadores de $\mathcal A$ y un mapa $\phi: A \rightarrow B$ (donde $A, B$ son los dominios de $\mathcal {A, B}$ resp.) tal que para cualquier atómica $\tau$ -fórmula $\psi(\vec x)$ y cualquier $\vec s \in S^n$ si $\mathcal A \models \phi(\vec s)$ entonces $\mathcal B \models \psi(\phi(\vec s))$ , demuestre que para cualquier símbolo de función $f$ tenemos $f^{\mathcal B}(\phi(\vec s)) = \phi(f^{\mathcal A}(\vec s))$ .

Un intento obvio es que reemplazar $\phi(\dots)$ en la propiedad deseada con variables. Sin embargo, esto no funciona ya que $f^{\mathcal A}(\vec s)$ no se sabe si está en $S$ .

¿Cómo puedo demostrarlo?

EDIT: La condición previa para $\psi$ debería ser que es atómica. Perdón por la confusión.

Answer 1

Esto es un error en Hodges. Lo que es cierto (¡y un buen ejercicio!) es que si $f$ es un mapa parcial $A\to B$ definido en un conjunto $S$ de generadores para $A$ entonces $f$ puede extenderse a algún homomorfismo $A\to B$ si y sólo si preserva las fórmulas atómicas (es decir, para $\overline{s}$ de $S$ y una fórmula atómica $\psi$ , si $A\models \psi(\overline{s})$ entonces $B\models \psi(f(\overline{s})$ ).

Answer 2

Hay una fe de erratas disponible en http://wilfridhodges.co.uk/ Dice: "Para "generar $A$ ', léase "enumera los elementos de $A$ ' ."

Así que, básicamente, $f^\mathcal{A}(\bar s)$ es conocido por estar en $S$ ¡!

(Como nota al margen, puede que sea la primera vez que utilizo la secuencia '." en un texto).