volumen de revolución dado por $r= \cos (\theta), z= \sin(2\theta)$ sobre el eje z

Question

El problema que quiero resolver es encontrar:

Volumen de revolución obtenido al girar la zona delimitada por las curvas inferiores: \begin{align*} r= \cos \theta, \quad z= \sin (2\theta), \quad -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \end{align*} sobre $z$ eje. Intuitivamente pensé que el sólido que obatinado por encima debe ser como un donut, sólo que sin el agujero (esto puede ser incorrecto). Es como girar un disco inclinado a lo largo del eje vertical. Mi libro de texto dice que tengo que usar el teorema de la divergencia para resolver el problema, parametrizando la superficie de la revolución, pero tengo dificultades en la parametrización ya que tengo que parametrizar el objeto ya parametrizado. La curva dada está obviamente parametrizada como \begin{align*} (x = \cos^2 \theta, \quad y= \sin \theta \cos \theta, \quad z= \sin 2\theta). \end{align*} Pero ahora, ¿cómo debo representar la superficie rotada? ¡Estoy atascado aquí y necesito ayuda!

Answer 1

Su confusión proviene del hecho de que también utilizó $\theta$ para el ángulo en el $xy$ plano. Su superficie debe parametrizarse como $$(x=\cos\theta\cos\phi, y=\cos\theta\sin\phi, z=\sin(2\theta))$$ Aquí $\phi$ varía entre $0$ y $2\pi$ . Creo que puedes utilizar carcasas cilíndricas. Tome una cáscara cilíndrica alrededor de la $z$ eje, de radio $r$ y el grosor $dr$ . La altura viene dada por $$z=\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta=\pm2r\sqrt{1-r^2}$$ así que $$h=4r\sqrt{1-r^2}$$ Entonces el volumen es $$V=2\pi\int_0^1dr\ r\cdot 4r\sqrt{1-r^2}$$