Describir, geométricamente, el núcleo de un $4\times4$ matriz con nulidad $1$

Question

Dejemos que $Ax=0$

\begin{equation}A=\begin{vmatrix} 7 & 5 & 4 & -9 \\ 5& 3 & 8 & -2 \\ 12 & 8 & 12 & 7 \\ 8 & 6 & 2 & -5 \end{vmatrix} \ \fin{sión}

Necesito encontrar el conjunto de soluciones y describirlo geométricamente.

He determinado que el RREF es:

\begin{equation}A=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 1 & -9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \ \fin{sión}

Lo que hace que el conjunto de la solución:

$(-7t,9t,t,0)$

Mi pregunta ahora es en cómo explicar adecuadamente esto geométricamente?

He dicho que se trata de un hiperplano con una variable libre, pero no sé si es la respuesta correcta. ¿Podría ser una especie de hiperlínea, ya que la última componente es una constante y sólo tenemos una variable libre, si es que eso existe?

Answer 1

Te has equivocado en alguna parte, el conjunto de soluciones es un espacio de todas las soluciones, no una matriz. Usted acaba de transformar la matriz dada, nada más.... La matriz, obviamente, tiene una columna más de lo necesario, ya que la tercera es una suma de la primera y la segunda, por lo que la dimensión máxima es tres. Tienes que demostrar que puede ir más allá antes de continuar. La transformación de una matriz es importante, pero no es un conjunto de soluciones.

Answer 2

El $7$ y $-9$ en la tercera columna de la matriz reducida indica que la columna $3$ de la matriz original es $7$ veces la columna uno menos $9$ columna de tiempos $2.$ es decir, cualquier múltiplo de $x=(7, -9, -1, 0)^T$ es la solución de $Ax = 0.$

Answer 3

Para abordar la versión ampliada de la pregunta:

He dicho que se trata de un hiperplano con una variable libre, pero no sé si es la respuesta correcta. ¿Podría ser una especie de hiperlínea, ya que la última componente es una constante y sólo tenemos una variable libre, si es que eso existe?

El conjunto de vectores de la forma $(-7t,9t,t,0)$ es simplemente un línea . Para expresarlo en términos puramente geométricos, es la única línea que pasa por el origen y el $(-7,9,1,0)$ .

Como usted dice, sólo hay una variable libre. Eso significa que la dimensión del conjunto de soluciones es $1$ . Espacios vectoriales de dimensión $1$ se llaman líneas, y los espacios vectoriales de dimensión $2$ se denominan planos. Los espacios vectoriales de co dimensión $1$ de dimensión uno menos que el espacio ambiente, se denominan hiperplanos. En el contexto familiar de $\mathbb R^3$ un plano es lo mismo que un hiperplano. En el contexto de $\mathbb R^4$ un hiperplano tiene dimensión $3$ . En cualquier caso, no sería correcto llamar hiperlínea a un hiperplano. "Hiperlínea" no es un término de uso común.

Answer 4

El conjunto de soluciones es todo $x$ tal que $A$ envía $x$ a $0$ que es el núcleo, o espacio nulo, del mapa lineal representado por $A$ . Una rápida búsqueda en Google le dará toneladas de información sobre cómo interpretar este espacio. Por ejemplo, si se obtiene la dimensión del espacio nulo se puede calcular el rango de $A$ utilizando el teorema de Rank-Nullity.