Ejemplo de realización geométrica en un conjunto semisimplificado que no conserva el límite

Question

Estoy buscando un diagrama $D$ (lo más simple posible) en la categoría de conjuntos semisimples (es decir $sSet$ con sólo monos) tal que $R(\text{lim}\,D) \ncong \text{lim}\,R(D)$ , donde $R$ es la realización geométrica en conjuntos semisimplificados. Además, en $sSet$ la equivalencia debe ser verdadera, es decir, estoy buscando un ejemplo para la necesidad de degeneraciones.

Answer 1

Toma el diagrama vacío. El conjunto semisimplicial terminal tiene un simplex en cada dimensión, por lo que su realización geométrica es de dimensión infinita.

De forma más general, los productos de conjuntos semisimplificados se comportan bastante mal. Por ejemplo, si $X$ y $Y$ son $n$ -conjuntos semidimensionales (lo que significa que no tienen ningún símbolo por encima de la dimensión $n$ ), entonces también lo es $X\times Y$ Así que $R(X\times Y)$ es $n$ -mientras que $R(X)\times R(Y)$ es $2n$ -dimensional. Para un ejemplo muy concreto, consideremos cuando $X=Y$ es un $1$ -simplemente. Entonces es un buen ejercicio para trabajar que $R(X\times Y)$ es una unión disjunta de a $1$ -simplex y dos puntos.