Quizá mi pregunta sea demasiado vaga, pero ahí va:
¿Es posible igualar una serie sobre números primos que tenga un logaritmo en su denominador (por ejemplo,
$$\sum_p \frac{1}{p \log p}$$
$$\sum_p \frac{1}{\sqrt{p} \log p}$$
$$\sum_p \frac{1}{ \log p}$$
) a algo "útil" como una serie sobre todos los números naturales o una expansión que implique funciones elementales? Sé que algunos de estos ejemplos divergen, así que mi pregunta sería algo equivalente a
¿Hay alguna forma de ampliar estas series a algo que no esté relacionado con los números primos? Si es así, ¿cómo? ¿Hay algún método general para tratar con esos registros?
Gracias.
Editar: Después de trabajar un poco con la segunda serie, he llegado a la conclusión de que es igual a
$$\log \prod_p \frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt{p}\log{p}}} + K$$
Para una constante fija $K$ . El problema es que esos registros me impiden tratar el producto como un Producto de Euler ni traducirlo a una Serie de Dirichlet
