Ampliación de la serie Taylor de $\tanh x$

Question

Sé cómo encontrar la expansión de Taylor de ambos $\sinh x$ y $\cosh x$ pero ¿cómo encontrar la expansión de Taylor de $\tanh x$ . Parece que no se puede dividir tanto la serie de Taylor de $\sinh x$ y $\cosh x$ ¿cómo lo harías?

¿Alguna sugerencia? He visto que contiene la serie de Bernoulli, ¿qué es eso exactamente?

Saludos cordiales

Answer 1

También puede utilizar el método que yo he utilizado aquí para la expansión de $\tan$ :

Integrar repetidamente $\ \tanh'(x)=1-\tanh(x)^2\ $ empezando por $\,\tanh(x)\approx x$ :

\begin{align} \tanh(x)&\small{=}\ x+O\bigl(x^2\bigr)\\ &\small{=\int 1-\left(x+O\bigl(x^2\bigr)\right)^2\,dx}=x-\frac {x^3}3+O\bigl(x^4\bigr)\\ &\small{=\int 1-\left(x-\frac {x^3}3+O\bigl(x^4\bigr)\right)^2dx=\int 1-x^2+\frac {2x^4}3\,dx-O\bigl(x^6\bigr)}=x-\frac {x^3}3+\frac {2x^5}{15}-O\bigl(x^6\bigr)\\ &= \cdots\\ \end{align}

Cada integración da otro coeficiente de $\ \displaystyle\tanh(x)=\sum_{n\ge 0} a_n\ (-1)^n\,x^{2n+1}\ $ y obtenemos simplemente : $$a_0=1,\; a_{n+1}=\frac 1{2n+3} \sum_{k=0}^n a_k\ a_{n-k},\ \text{for}\;n>0$$ es decir, el secuencia (con signos alternos para $\tanh$ ) : $$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}=\left(\frac 11,\frac 13, \frac 2{15}, \frac {17}{315}, \frac {62}{2835}, \frac{1382}{155925},\cdots\right)$$

Probablemente podemos deducir la relación de recurrencia de los números de Bernoulli en función de éste (o viceversa) pero aún no lo he probado.

Answer 2

\begin{eqnarray} \tanh x &=& x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \\ \end{eqnarray} Donde $B_{m}$ es el $m$ -ésimo número de Bernoulli definido como \begin{equation} B_m(n) = \sum_{k=0}^m\sum_{v=0}^k(-1)^v\binom kv\frac{\left( n+v\right) ^m}{k+1} \end{equation}

Answer 3

Una forma fácil de calcular los coeficientes de la serie de Taylor de $\tanh$ es considerar que: $$\cosh(z)=\prod_{n=0}^{+\infty}\left(1+\frac{4z^2}{(2n+1)^2 \pi^2}\right)$$ por lo tanto: $$ \log\cosh z = \sum_{n=0}^{+\infty}\log\left(1+\frac{4z^2}{(2n+1)^2 \pi^2}\right)$$ y diferenciando: $$ \tanh z = 2z\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\frac{4}{(2n+1)^2 \pi^2}}{1+\frac{4z^2}{(2n+1)^2 \pi^2}}$$ Así que..: $$ [z^{2k+1}]\tanh z = 2\frac{(-1)^k}{\pi^{2k+2}}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(n+1/2)^{2k+2}}=2\frac{(-2)^k}{\pi^{2k+2}}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^{2k+2}}$$ dando:

$$ [z^{2k+1}]\tanh z = 2\frac{(-1)^k}{\pi^{2k+2}}\left(1-\frac{1}{4^{k+1}}\right)\zeta(2k+2).$$

Answer 4

No conozco una teoría universal de todos los lugares en los que surgen los números de Bernoulli, pero la suma de Euler-Maclaurin explica muchas de sus apariciones más reales.

La explicación heurística (debida a Lagrange) es la siguiente. El primer operador de diferencia definido por $\Delta f(n) = f(n+1)-f(n)$ y la suma son inversas, en el mismo sentido en que la diferenciación y la integración son inversas. Esto equivale a una serie telescópica: $\sum_{a \le i < b} \Delta f(i) = f(b) - f(a)$ .

Ahora, por el teorema de Taylor, $f(n+1) = \sum_{k \ge 0} f^{(k)}(n)/k!$ (bajo hipótesis adecuadas, por supuesto). Si dejamos que $D$ denota el operador de diferenciación definido por $Df = f'$ y $S$ denota el operador de desplazamiento definido por $Sf(n) = f(n+1)$ entonces el teorema de Taylor nos dice que $S = e^D$ . Así, porque $\Delta = S-1$ tenemos $\Delta = e^D - 1$ .

Ahora sumar equivale a invertir $\Delta$ o, de forma equivalente, aplicando $(e^D-1)^{-1}$ . Si ampliamos esto en términos de potencias de $D$ los coeficientes son números de Bernoulli (divididos por factoriales). Debido a la singularidad en " $D=0$ ", el término inicial implica la antidiferenciación $D^{-1}$ es decir, la integración. Así, hemos expandido una suma como una integral más términos de corrección que implican derivadas superiores, con coeficientes del número de Bernoulli.

Específicamente, $$ \sum_{a \le i < b} f(i) = \int_a^b f(x) \, dx + \sum_{k \ge 1} \frac{B_k}{k!} (f^{(k-1)}(b) - f^{(k-1)}(a)). $$ (Restando los valores en $b$ y $a$ equivale al análogo de convertir una integral indefinida en una integral definida).