Estoy aprendiendo sobre estadística suficiente y entiendo lo básico que es la información mínima que necesitamos para representar una estadística (definición muy vaga, lo sé. Estoy aprendiendo). Estoy tratando de resolver problemas al respecto. El problema es suponer una muestra de tamaño $n$ se toma de la distribución geométrica con parámetro $\pi$ . ¿Cómo puedo encontrar una estadística real suficiente para esto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La función de densidad de probabilidad (pdf) conjunta de la muestra es
$$\prod_{i=1}^n (1-\pi)^{x_i} \pi = \pi^n (1-\pi)^{\sum_{i=1}^n x_i}.$$
Dejemos que $T(x) = \sum_{i=1}^n x_i$ . Vemos que el pdf puede expresarse como una función que depende de la muestra sólo a través de $T(x)$ . Así, $T(x)$ es una estadística suficiente para $\pi$ por el Teorema de factorización de Neyman-Fisher .
El teorema de factorización de Neyman-Fisher es una herramienta muy útil para encontrar estadísticas suficientes. El Página de Wikipedia tiene varios ejemplos.
(Esta respuesta supone una forma de la distribución geométrica. La forma de $T(x)$ sería lo mismo para el otro).
