¿Cómo demostrar formalmente la regla de la cadena para funciones vectoriales multivariables?

Question

Dejemos que $f:G\subset\mathbb{R}^n\rightarrow$$ G'\Nsubset\Nmathbb{R}^m $ be differentiable at $ x_0en{G} $ and $ g:G'\N-derecha-flecha $$\mathbb{R}^p$ sea diferenciable en $f(x_0)=y_0\in{G'}$ . Reclamación: $g(f(x_0))$ es diferenciable en $x_0$ y $D(g$$ \N - El cirujano. $f)($ x_0 $)$ = $$Dg(y_0)$$ \N - El cirujano. $$Df(y_0)$ .

Lo que he hecho:

Desde $f$ es diferenciable, $(g\circ{f})$$ (x_0+u)=g(f(x_0+u))=g(f(x_0)+Df(x_0)u+||u||\epsilon_1(u)) $, where $ \epsilon_1(u) $ tends to zero as $ u $ approaches zero. Next let's denote $ Df(x_0)u+||u|||epsilon_1(u)=h(u)$. Entonces obtenemos

$g(f(x_0+u))$

$=g(y_0+h(u))$

$=g(y_0+Df(x_0)u+||u||\epsilon(u)$ )

Además, como $g$ es diferenciable, $g(y_0+h(u))$ = $g(y_0)+Dg(y_0)h(u)+||h(u)||\epsilon_2(h(u)))$ , donde $\epsilon_2(h(u))$ debería tender a cero a medida que $h(u)$ se acerca a cero.

Así,

$(g\circ{f})$$ (x_0+u)=g(y_0)+f(x_0)+Dg(y_0)(Df(x_0)u+||u||||epsilon_1(u))+|||Df(x_0)u+||u||||epsilon_1(u)|||epsilon_2(Df(x_0)u+||u||||epsilon_1(u)))$

Necesito un poco de ayuda para terminar esto.

Answer 1

Sugerencia : Modulo detalles, este es el argumento que se pretende: \begin{align*} y_{0} + k &= f(x_{0} + h) = f(x_{0}) + \underbrace{Df(x_{0})\, h + o(\|h\|)}_{k}; \\ (g \circ f)(x_{0} + h) &= g(y_{0} + k) \\ &= g(y_{0}) + Dg(y_{0})\, k + o(\|k\|) \\ &= g(y_{0}) + Dg(y_{0})\, Df(x_{0})\, h + o(\|h\|). \end{align*} La regla de la cadena se desprende inmediatamente de la caracterización de la derivada como "coeficiente lineal" en una aproximación lineal.

El principal punto técnico a tratar es: Si $k = f(x_{0} + h) - f(x_{0})$ ¿Por qué puede $o(\|k\|)$ ser sustituido por $o(\|h\|)$ ?