¿Es posible construir un círculo $(DEC)$ sólo con regla y compás

Question

Estoy tratando de dibujar esta figura:

Dada:

• $\omega - \odot(O,OX=R)$

• $\ell \perp OX$

• $\gamma = (ABE)$ está dado, tiene radio $r$ y es tangente a $\ell$ en $A$ y $\omega$ en $B$ .

Estoy tratando de encontrar el punto $D$ tal que $(DEC)$ también es tangente a $\omega$ (en $C$ ) y $\ell$ (en $D$ ) y $D$ es colineal a $E = (DEC) \cap (AEB)$ y $B$ .

Mi intento fue con la geometría analítica después de atascarme con los resultados básicos que puedes ver arriba.

No fue bonito.

Llamemos a $Z = \ell \cap OX$ y definir $x_0 = ZO > 0$ .

$AZ = d_r$ Así que $d_r^2 = (R+x_0)(R-x_0-2r)$

Si $\rho$ es el radio de $(DEC)$ y $d_{\rho}^2 = (R+x_0)(R-x_0-2\rho)$

Llamemos por fin a $\square = (R+x_0)(1-\frac rR) + \frac{d_r-d_{\rho}}{\rho-r}(\frac rR d_{\rho} - d_r)$

La ecuación que he encontrado que resuelve $\rho = f(R,r,x_0)$ es:

$(\square \cdot r \cdot (\rho-r))^2 = ((R+x_0)(d_r-d_{\rho})^2 + \square \cdot (R+x_0+r)(\rho - r))^2 + (\rho-r)^2((R+x_0)(d_r-d_{\rho}) + d_r \cdot \square)^2$

No puedo ampliarlo con mi cuaderno, ¿hay alguna forma inteligente de construir esta imagen?

Answer 1

El diagrama de OP indica correctamente que $\overleftrightarrow{AB}$ , $\overleftrightarrow{CD}$ y los ejes radicales de los círculos menores pasan todos por $X'$ . (Las dos primeras colinealidades se derivan de la dilatación del semicírculo en $\overline{XX'}$ con respecto a $B$ y $C$ . La tercera es menos obvia, pero dado que el OP es consciente de ello, la tomaremos como "conocida").

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Alterando considerablemente la notación, consideremos un círculo con diámetro $\overline{PQ}$ , toma $\overline{OA}\perp\overline{PQ}$ (donde $O$ no es necesariamente el centro del círculo), y $B$ en $\overline{OA}$ . Ampliar $\overline{PA}$ y $\overline{PB}$ da puntos de tangencia $A'$ y $B'$ .

Definir $\alpha := \angle APQ$ y $\beta := \angle BPQ$ y también $$p := |OP| \qquad q := |OQ| \qquad a := |OA|=p \tan\alpha \qquad b := |OB|=p\tan\beta \tag1$$ Coordinación con $O$ en el origen, tenemos $$P = (-p,0) \qquad Q = ( q, 0) \qquad A = (0,a)=(0,p\tan\alpha) \qquad B = (0,b)=(0,p\tan\beta) \tag2$$ Además, como $|PA'|=(p+q)\cos\alpha$ y $|PB'|=(p+q)\cos\beta$ podemos escribir $$\begin{align} A' &= P + (p+q)\cos\alpha\;(\cos\alpha,\sin\alpha) = \frac{p}{a^2+p^2}\;(pq-a^2,a(p+q))\\[4pt] B' &= P + (p+q)\cos\beta\; (\cos\beta, \sin\beta) = \frac{p}{b^2+p^2}\;(pq-b^2,b(p+q)) \end{align} \tag3$$

Dejemos que $E$ sea la intersección de $\overline{A'B}$ y el eje radical de los dos círculos. Convenientemente, ya que el eje radical debe pasar por el punto medio del segmento tangente $\overline{AB}$ En este caso, no necesitamos saber mucho más sobre las circunferencias (centros, radios, etc.) para conocer la ecuación del eje. De hecho, ni siquiera suponemos que los círculos se encuentren o que $E$ se encuentra en cualquiera de los dos círculos .

Sin también muchos problemas, encontramos que $$E = \left(\frac{p(p q-a^2)}{a^2+2p^2+pq}, \frac{p (p + q)(a + b)}{a^2+2p^2+pq}\right) \tag4$$ Convenientemente, el $x$ -es independiente de $B$ . Es decir, todos los posibles $E$ -los puntos se encuentran en la línea $$x = \frac{p(p q-a^2)}{a^2+2p^2+pq} \tag5$$

Para las necesidades específicas de OP -donde los círculos hacer conocer y $E$ hace mentira en ambos- tomamos $E$ para ser la intersección de esta línea auxiliar y la $A$ -Círculo. Por lo tanto, "todo lo que necesitamos" es proporcionar una construcción para esa línea; esto es en realidad bastante fácil: explotamos las posiciones extremas del punto $B$ .

Ampliar $\overline{OA}$ para reunirse con el círculo en $S$ y $T$ . Sea $M$ y $N$ sean los puntos medios de $\overline{AS}$ y $\overline{AT}$ y ampliar $\overline{PM}$ y $\overline{PN}$ para cumplir con $\overline{A'S}$ y $\overline{A'T}$ en $M'$ y $N'$ . Entonces $\overleftrightarrow{M'N'}$ es la línea auxiliar cuyas intersecciones con el $A$ -Círculo son candidatos para el punto de la OP $E$ . (Cualquiera de los dos puntos sirve.) A partir de ahí, aunque no se muestra en la figura, podemos extender $\overline{A'E}$ para cumplir con $\overleftrightarrow{OA}$ en $B$ que define el $B$ -Círculo. Hecho.