La topología K satisface el axioma de Hausdorff

Question

Quiero demostrar que la topología en $\mathbb{R}_K$ satisface el axioma de Hausdorff.

Conocemos la topología en $\mathbb{R}_K$ es generado por la base $(a,b)$ y $(a,b)-K$ donde $K =\{1/n\}_{n \in \mathbb{Z}_+}$ .

Mi intento:

Dejemos que $a$ y $b$ son dos puntos distintos en $\mathbb{R}$ . Entonces existen dos vecindades disjuntas $U$ y $V$ que están abiertos en la topología estándar. Dado que la topología en $\mathbb{R}_K$ es más fina que la topología estándar, $\mathbb{R}_K$ es Hausdorff.

¿Es correcta la prueba?

Answer 1

Eso está perfectamente bien. De hecho, es válido en general: Cada vez que se tiene un espacio topológico de Hausdorff $(X, \tau)$ cada vez que se dota $X$ con una topología más fina $\tau'$ entonces $(X, \tau')$ es Hausdorff. La idea principal es que para cada $2$ puntos distintivos que sólo tienes que encontrar al menos uno vecindad para cada punto que lo contiene y que es disjunta de la otra.