¿Cómo demostrar que la diferencia de dos medidas complejas regulares de Borel es regular?

Question

Esto está en la página 130 del análisis real y complejo de Rudin. El libro dice que esto es fácil de ver, pero tengo problemas para probarlo.

Supongamos que $\mu_1,\mu_2$ son dos medidas complejas regulares de Borel. Para la regularidad interna, dada $E$ y $\epsilon >0$ tenemos $K_1,K_2\subset E$ tal que $|\mu_1|(K_1)+\epsilon >|\mu_1|(E)$ y $|\mu_2|(K_2)+\epsilon >|\mu_2|(E)$ . Quiero usar $K_1\cup K_2$ para $|\mu_1 + \mu_2|$ (considerar la suma de las medidas en lugar de la diferencia), pero no parece funcionar.

¿Está esta técnica en el camino correcto?

Answer 1

(1) Demuestre que si $\mu$ es una medida compleja regular de Borel, entonces también lo es $-\mu$ .

(2) Ahora utiliza el hecho de que la suma de dos medidas complejas regulares de Borel es una medida compleja regular de Borel (que sabes demostrar).

Espero que esto ayude.