Valor más probable de la variable aleatoria binomial negativa

Question

Si $X$ es una variable aleatoria binomial negativa digamos con $p =0.2$ y $r = 4$ entonces cómo podemos calcular el valor más probable de $X$ ? Pensé que era el valor esperado pero es $20$ y supongo que el valor más probable es el modo de los datos por lo que esto no puede ser la respuesta. ¿Cómo vamos a calcular el valor más probable en este caso?

Answer 1

Para la parametrización $$\Pr[X = x] = \binom{x+r-1}{r-1} p^r (1-p)^x, \quad x \in \{0, 1, 2, \ldots\},$$ es fácil observar $$\frac{\Pr[X = x+1]}{\Pr[X = x]} = \frac{(1-p)(x+r)}{x+1}.$$ Si este coeficiente es superior a $1$ entonces la probabilidad sigue aumentando en función de $x$ ; es decir, $$\Pr[X = x+1] > \Pr[X = x] \iff (1 - p)(x+r) > x+1,$$ o de forma equivalente, $$x < \frac{r(1-p) - 1}{p}.$$ Así que querrás buscar alrededor de este valor para obtener el modo.