Cálculo de la suma infinita $1-\frac 1 7+\frac 1 9 - \frac{1}{15} + \frac 1 {17}\mp ...=\frac{1+\sqrt{2}}{8}\pi$

Question

Demostrar que $$1-\dfrac 1 7+\dfrac 1 9 - \dfrac{1}{15} + \dfrac 1 {17}\mp ...=\dfrac{1+\sqrt{2}}{8}\pi$$

Mi intento: Traté de dividirlo en dos series $$(1+1/9+1/17+...)-(1/7+1/15+1/23+...)$$ Pero no sé cómo proceder. Se agradecería cualquier sugerencia.

Answer 1

Utilizando las pistas de Mohammad Zuhair Khan y Feng Shao, dejemos

$$f(x):=1-\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{x^{8n-1}}{8n-1}-\frac{x^{8n+1}}{8n+1}\right).$$

Entonces, si diferenciamos los términos,

$$f'(x)=-\sum_{n=0}^\infty(x^{8n-2}-x^{8n}).$$

Utilizando la fórmula de la suma geométrica,

$$f'(x)=-\frac{x^6}{1-x^8}+\frac{x^8}{1-x^8}=-\frac{x^6(1-x^2)}{1-x^8}.$$

Finalmente,

$$f(1)=1-\int_0^1\frac{x^6(1-x^2)}{1-x^8}dx.$$

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x%5E6(1-x%5E2)%2F(1-x%5E8)+de+0+a+1

No veo una forma fácil de resolver la integral, si no es por descomposición en fracciones simples, lo cual es tedioso.

Answer 2

Sólo por curiosidad.

Ya que has recibido buenas pistas y una buena respuesta, déjame mostrarte cómo podríamos calcular la suma parcial $$S_p=1- \sum_{n=1}^{p} \frac 1{8n-1}-\sum_{n=1}^{p}\frac 1{8n+1}$$ Escribe $$S_p=1+\frac{1}{8} \left(\psi \left(p+\frac{9}{8}\right)-\psi \left(p+\frac{7}{8}\right)-\psi \left(\frac{9}{8}\right)+\psi \left(\frac{7}{8}\right)\right)$$ donde aparece la función digamma.

Utilizando la asintótica y continuando con las series de Taylor para valores grandes de $p$ $$S_p=\frac{ \pi}{8} \cot \left(\frac{\pi }{8}\right)+\frac{1}{32 p}-\frac{1}{64 p^2}+O\left(\frac{1}{p^3}\right)$$

Informática $$S_5=\frac{106748767459}{111928041225}\approx 0.953726$$ mientras que la serie truncada anterior daría $$\frac{\pi}{8} \cot \left(\frac{\pi }{8}\right)+\frac{9}{1600}\approx 0.953684$$

Sólo recuerda que, usando el medio ángulo, $\tan \left(\frac{\pi }{8}\right)=\sqrt 2 -1$ hace $\cot\left(\frac{\pi }{8}\right)=\sqrt 2 +1$

Answer 3

$$1-\dfrac 1 7+\dfrac 1 9 - \dfrac{1}{15} + \dfrac 1 {17}+...=1- \sum_{n=1}^{\infty} \frac 1{8n-1}-\frac 1{8n+1}$$ $$=1-\sum_{n=1}^{\infty} \frac 2{64n^2-1}=1-\frac{1}{32}\sum_{n=1}^{\infty} \frac 1{n^2-\frac{1}{8^2}}$$ y tenemos $$\frac{1-\pi x \cot(\pi x)}{2x^2}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2-x^2}$$ así que $$1-\frac{1}{32}\sum_{n=1}^{\infty} \frac 1{n^2-\frac{1}{8^2}}=1-\frac{1}{32}\frac{1-\frac{\pi}{8}\cot(\pi/8)}{2(\frac{1}{64})}=\frac{1+\sqrt{2}}{8}\pi$$