Rotaciones y reflexiones en grupo diédrico $D_8?$

Question

Mi pregunta es:

En el grupo diédrico $D_8$ generado por $\alpha,\beta$ con $\alpha^8=\beta^2=e$ , demuestre que $\alpha^7\beta=\beta\alpha$ . Por lo tanto, escriba $(\alpha^3\beta)(\alpha^2\beta)$ en la forma $\alpha^p\beta^q$ .

Puedo visualizar las rotaciones $\alpha$ y reflexiones $\beta$ del octógono $D_8$ pero no estoy seguro de cómo probar la afirmación $\alpha^7\beta=\beta \alpha$ . Para la segunda parte, a través de la visualización, conseguí $\alpha^2\beta^0$ pero no estoy seguro de cómo mostrar esto matemáticamente.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Es fácil de visualizar $\beta\alpha\beta^{-1}=\alpha^{-1}$ y por lo tanto $\beta\alpha=\alpha^{-1}\beta=\alpha^{7}\beta$ para la primera parte.

Además, como $\beta\alpha\beta^{-1}=\alpha^{-1}$ tenemos $\beta\alpha^2\beta^{-1}=\alpha^{-2}$ y por lo tanto $$(\alpha^3\beta)(\alpha^2\beta)=\alpha^3(\beta\alpha^2\beta)=\alpha^3\alpha^{-2}=\alpha.$$

Answer 2

Para la segunda parte, simplemente camina $\beta$ a través de las distintas instancias de $\alpha$ uno por uno:

$$\begin{align} \beta\alpha^2&=(\beta \alpha)\alpha \\ &= (\alpha^7\beta)\alpha \\ &= \alpha^7(\beta\alpha)\\ &=\alpha^{14}\beta\\ &=\alpha^6\beta. \end{align}$$