¿Por qué el tiempo de vuelo de un proyectil en un plano inclinado es igual al doble del tiempo que tarda en alcanzar la distancia máxima normal a la inclinación?

Question

Hoy estaba aprendiendo sobre el tiempo de vuelo de una parábola en un plano inclinado, que quería derivar $$T = \frac{2v_0 \sin \theta}{g \cos \alpha}$$ donde $\theta$ es el ángulo de proyección respecto a la inclinación y $\alpha$ es el ángulo del plano inclinado.

Imagen de [Proyectil sobre plano inclinado, ángulo de alcance máximo].

Primero, hice el $x$ eje paralelo al plano inclinado y el $y$ eje perpendicular a él.

Ahora, pensé que el proyectil era una simple parábola, así que pensé en calcular el tiempo para alcanzar el pico y duplicarlo para obtener el tiempo de vuelo.

El tiempo para alcanzar el pico puede calcularse a partir de $$0 = v_0 \sin \theta - gt \cos \alpha$$ como $$t = \frac{v_0sin\theta}{g\cos\alpha}.$$

Si se duplica, se obtiene lo deseado. Sin embargo, por las imágenes que he visto en Internet, no me parece que el proyectil sea una simple parábola (como en el caso del suelo) que se pueda "cortar" en mitades. Entonces, ¿por qué funciona esto?

La imagen de abajo es la parábola estándar de tierra a tierra. Observe cómo el movimiento puede "dividirse" en dos partes análogas.

Siento si se me escapan algunos detalles triviales.

Answer 1

Queremos maximizar $ \vec{s} \cdot \hat{n}$ donde $n$ es la unidad normal a la rampa. $$ \vec{s} = \vec{u} t + \frac12 \vec{a} t^2$$

Ponga un punto en ambos lados con $\hat{n}$ :

$$ \vec{s} \cdot \hat{n} = \vec{u} \cdot \hat{n} t + \frac12 \vec{a} \cdot \hat{n} t^2$$

Diferencia ambos lados con el tiempo:

$$ \frac{d}{dt}( \vec{s} \cdot \hat{n}) = \vec{u} \cdot \hat{n} + \vec{a} \cdot \hat{n} t$$

Para el caso máximo, debe ser que $\frac{d}{dt} ( \vec{s} \cdot \hat{n})=0$ Por lo tanto, por reordenamiento:

$$\left| \frac{\vec{u} \cdot \hat{n} }{ \vec{a} \cdot \hat{n}}\right|= t$$

Encontramos $\vec{u} \cdot \hat{n} = |\vec{u}| \sin \theta$ y $ \vec{a} \cdot \hat{n}=| \vec{a} | \cos \alpha$ (por geometría):

$$ t=\left| \frac{|\vec{u}_0| \sin \theta}{|\vec{a}| \cos \alpha}\right|$$

La belleza de la prueba anterior: ¡en ninguna parte he utilizado coordenadas o componentes!

Answer 2

La distancia del plano inclinado no tiene que medirse normal al avión. Se puede medir en cualquier ángulo fijo, y el punto de máxima distancia será el mismo. En particular, utilizando el $y$ y $z$ coordenadas en el diagrama de OP, podemos definir el pico utilizando el vertical distancia $$Z = z - y\tan\alpha,$$ es decir, la diferencia entre $z$ y la altura del plano inclinado en el mismo $y$ valor.

El valor máximo de $Z$ se produce cuando $0 = dZ/dy = dz/dy - \tan\alpha$ es decir, cuando la trayectoria tiene pendiente $\tan\alpha$ y tiene una línea tangente paralela al plano inclinado. Este es exactamente el mismo criterio que se aplica cuando se mide la distancia normal al plano.

Podemos ver todo el problema en las coordenadas $(y,Z)$ que son un transformación de cizallamiento afín de los originales. Tenemos $dy/dt = \mathrm{const}$ y $d^2Z/dt^2 = d^2z/dt^2 = -g$ . Así que el movimiento del proyectil en $(y,Z)$ sigue trayectorias parabólicas del mismo tipo que en $(y,z)$ . La transformación convierte el problema en uno con terreno llano. Esto deja claro que la relación entre el tiempo de pico (máximo $Z$ ) y el tiempo de aterrizaje ( $Z = 0$ ) es el mismo que en el caso de nivelación del terreno.