¿Por qué el tiempo de vuelo de un proyectil en un plano inclinado es igual al doble del tiempo que tarda en alcanzar la distancia máxima normal a la inclinación?

Question

Hoy estaba aprendiendo sobre el tiempo de vuelo de una parábola en un plano inclinado, que quería derivar $$T = \frac{2v_0 \sin \theta}{g \cos \alpha}$$ donde $\theta$ es el ángulo de proyección respecto a la inclinación y $\alpha$ es el ángulo del plano inclinado.

Imagen de [Proyectil sobre plano inclinado, ángulo de alcance máximo].

Primero, hice el $x$ eje paralelo al plano inclinado y el $y$ eje perpendicular a él.

Ahora, pensé que el proyectil era una simple parábola, así que pensé en calcular el tiempo para alcanzar el pico y duplicarlo para obtener el tiempo de vuelo.

El tiempo para alcanzar el pico puede calcularse a partir de $$0 = v_0 \sin \theta - gt \cos \alpha$$ como $$t = \frac{v_0sin\theta}{g\cos\alpha}.$$

Si se duplica, se obtiene lo deseado. Sin embargo, por las imágenes que he visto en Internet, no me parece que el proyectil sea una simple parábola (como en el caso del suelo) que se pueda "cortar" en mitades. Entonces, ¿por qué funciona esto?

La imagen de abajo es la parábola estándar de tierra a tierra. Observe cómo el movimiento puede "dividirse" en dos partes análogas.

Siento si se me escapan algunos detalles triviales.

Answer 1

Has hecho una buena pregunta.

no me parece que el proyectil sea una simple parábola (como en el caso del suelo) que se pueda "cortar" en mitades. Entonces, ¿por qué funciona esto?

Realmente contrasta con la simetría. Pero no tiene nada que ver con la simetría. Lo entenderás mejor con los siguientes gráficos.

Aquí la línea negra indica la trayectoria de la pelota y la línea marrón es el plano inclinado.

Como explicó con precisión @John Rennie,

....la palabra "pico" significa la distancia máxima del plano medida normal al plano. No significa la altura máxima medida desde la horizontal. 

Los he marcado como "A" y "B" respectivamente.

Si intentas graficar esto tú mismo te darás cuenta de que las distancias $a$ y $b$ en la siguiente imagen son iguales (Esta propiedad fue descubierta por Arquímedes ).*

Dado que hay no hay aceleración horizontal la cantidad de tiempo que el balón tarda en pasar $a$ y $b$ son iguales (considere el movimiento horizontal). Finalmente concluirás que el tiempo del vuelo viene dado por la duplicación del tiempo para alcanzar el pico(A).

Por lo tanto, no se debe a la simetría, sino a la propiedad especial de intersección de una recta y una parábola.

Espero que esto ayude.

P.D: @Fredriksy también ha explicado lo mismo en su respuesta,

Parece que te preocupa que la trayectoria de vuelo después de rotar la imagen (ejes x-y) NO sea una parábola. Sin embargo, esto no es realmente importante para determinar el tiempo de vuelo.

Supongo que con esta explicación y mis gráficos lo entenderás mejor. Buena suerte.

*Puedes encontrar la prueba matemática aquí . Un agradecimiento especial a @CiaPan y @Pope.

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EDITAR:

¿Puede observar algo más interesante? Si consideras una proyección relativa al plano horizontal, el plano horizontal será también una cuerda de la trayectoria, que es una parábola. Así que la observación, "al duplicar el tiempo que tarda en alcanzar la máxima altitud con respecto al plano considerado El "tiempo de vuelo que se obtiene", también puede interpretarse como un resultado de esta propiedad especial de la intersección, aunque obviamente parece ser una consecuencia debida a la simetría:-)

Answer 2

Creo que tienes un malentendido en cuanto a por qué funciona tu solución.

Tienes razón en que una trayectoria parabólica tendrá un "pico" en la cima y tardará el mismo tiempo en bajar. Sin embargo, esto no se limita a la trayectoria parabólica verticalmente simétrica.

En tu caso has separado correctamente las velocidades x e y y las aceleraciones como $$v_y(t=0) = v_0\sin\theta$$ $$a_y = -g\cos\alpha$$

$$v_x(t=0) = v_0\cos\theta$$ $$a_x = -g\sin\alpha$$

Parece que te preocupa que la trayectoria de vuelo después de rotar la imagen (ejes x-y) NO sea una parábola verticalmente simétrica. Sin embargo, esto no es realmente importante para determinar el tiempo de vuelo . Lo único que importa es $v_y$ Y $a_y$ En tu foto girada. La dirección x $v_x$ Y $a_x$ que hacen que su trayectoria de vuelo no sea simétrica/parabólica no afecta al tiempo de vuelo, sólo afectará al lugar donde aterrice. Lo diré de nuevo , no es necesario que la trayectoria sea simétrica o parabólica de forma que el tiempo que se tarda en llegar a la cima sea igual al tiempo que se tarda en llegar al suelo .

Así que la pregunta es, ¿por qué es $t_{\text{up}}=t_{\text{down}}?$

Argumento: $$ t_{\text{up}} = -v_y(t=0)/a_y \; \text{time it takes to get to zero velocity at the top} $$ $$ t_{\text{down}} = -v_y(t=0)/a_y \; \text{} $$

esta vez sabemos, por simetría en el $y$ movimiento entre las fases ascendente y descendente (aceleración uniforme $y$ moción), que el $v_y(t=\text{Return})$ cuando se trata es $-v_y(t=0)$ . Así que queremos saber el tiempo que se tarda en pasar de $0$ velocidad (la parte superior) a $-v_y(t = 0)$ al golpear el suelo.

Otro ejemplo es que si hay viento que sopla en la dirección x, si se lanza la pelota al aire ésta alcanzará un pico y luego caerá. $t_{\text{up}} = t_{\text{down}}$ aunque la bola caiga en otro lugar por completo debido al viento.

Edición: se han añadido algunos $t = 0$ notas para aclarar las cosas

Answer 3

Su método funciona bien y la razón es la siguiente.

Para un proyectil disparado sobre un terreno horizontal, el tiempo de vuelo es el doble del tiempo que tarda en llegar al punto más alto.

Este tiempo puede hallarse considerando sólo las componentes verticales -es el mismo tiempo que un proyectil disparado verticalmente hacia arriba tardaría en subir y bajar-, es decir, pueden ignorarse las componentes horizontales de la velocidad.

Cuando giras los ejes es como un proyectil disparado en ángulo $\theta$ al suelo horizontal, con $g$ reducido a $g\cos\alpha$ sino una aceleración "horizontal $g\sin\alpha$ añadido al proyectil.

Sin embargo, esta componente "horizontal" no afecta al tiempo que tarda en llegar a diferentes distancias sobre el plano, por lo que el tiempo para alcanzar la distancia máxima es de nuevo la mitad del tiempo del movimiento completo.

Answer 4

Obsérvese que si se traza una línea perpendicular al plano inclinado donde se lanzó el proyectil, y una línea perpendicular al plano inclinado donde aterrizó el proyectil, entonces una línea de distancia trazada entre estas dos líneas paralelas al plano, define todo el tiempo de vuelo del proyectil (hasta donde aterriza de nuevo en el plano inclinado), digamos $t$ .

El "punto más alto" del proyectil corresponde a la línea de mayor longitud medida perpendicularmente a la inclinación desde ésta hasta la trayectoria del proyectil. En otras palabras, una tangente en ese punto es en la parábola es paralela a la inclinación. Esto corresponde al tiempo $\frac{t}{2}$ ya que el plano x-y ha sido rotado por $\alpha$ y la aceleración $g$ es ahora $gcos\alpha$ con una aceleración $gsin\alpha$ paralelo a la pendiente.

Obsérvese que si se eliminara la inclinación, la trayectoria que sigue el proyectil se asemejaría a una parábola perfecta, y aparecería la simetría que se espera, y de ahí que se piense eso.

Answer 5

Es lo mismo que introducir una aceleración en dirección horizontal para una pelota lanzada en un plano horizontal. El plano inclinado se coordina de manera que la línea inclinada sea el eje x y una línea ortogonal a ella el eje y. También hay una aceleración en la dirección x. Esto no alterará la altura de la cima de la parábola. Sólo su posición en x. La gravedad vertical se reduce en este sistema de coordenadas. La bola seguirá alcanzando su cima en la mitad de tiempo que sin esta nueva fuerza horizontal. La trayectoria (parabólica) de la pelota se apretará o alargará de forma desigual (cuando se lanza desde la parte superior del plano inclinado). El tiempo para llegar a la cima y el tiempo desde la cima hasta el aterrizaje no se verán alterados. Sólo el movimiento horizontal será diferente (no lineal)