Resolución de la EDO $3 x y(x) \cos(x)+ 3 y(x) \sin(x) = \sqrt{9x^2 \sin(x)^2 + 1} y'(x)$

Question

¿Puede alguien ayudarme a resolver la siguiente ecuación diferencial?

$$3 x y(x) \cos(x)+ 3 y(x) \sin(x) = \sqrt{9x^2 \sin(x)^2 + 1} y'(x)$$

He intentado utilizar la variación de parámetros, la transformada de Laplace y también los coeficientes indeterminados, pero nada funciona.

Tampoco he podido resolverlo con Mathematica.

Answer 1

El problema no es la ecuación diferencial sino la evaluación de la integral.

$$3 x y(x) \cos(x)+ 3 y(x) \sin(x) = \sqrt{9x^2 \sin(x)^2 + 1} y'(x)$$ $$ \ln y =3\int \frac {x \cos(x)+ \sin(x) }{ \sqrt{9x^2 \sin(x)^2 + 1} }dx=3I$$ En caso de que $\sin(x)^2=\sin^2 x$ Tenga en cuenta que: $u=x\sin x \implies u'=\sin x + x \cos x$ $$\implies I=\int \frac {du }{ \sqrt{(3u)^2+ 1} }$$ Entonces puedes probar la sustitución de funciones hiperbólicas como sugiere Maximilian Janisch en el comentario. Pero si te refieres a $\sin(x^2)$ entonces es otro problema.