Prueba de que el momento de la generación de funciones de forma exclusiva determinar las distribuciones de probabilidad de

Question

Wackerly et al texto de los estados de este teorema "Vamos a $m_x(t)$ $m_y(t)$ el valor del momento de generación de funciones de variables aleatorias X y y, respectivamente. Si tanto el momento de generación de funciones de existir y $m_x(t) = m_y(t)$ para todos los valores de t, entonces X y y tienen la misma distribución de probabilidad." sin una prueba diciendo que su más allá del alcance de este texto. Scheaffer Joven también tiene el mismo teorema sin una prueba. No tengo una copia de la Casella, pero la búsqueda de libros de Google no parecen encontrar el teorema.

Intestino del texto parece tener un esquema de una prueba, pero no hace referencia a la "conocido" resultados y también requiere el conocimiento de otro resultado cuya prueba no siempre.

¿Alguien sabe que originalmente probado y si la prueba está disponible en línea en cualquier lugar? De lo contrario, ¿cómo se podía rellenar los detalles de esta prueba?

En el caso que me hacen no, esto no es una tarea pregunta, pero me imagino que esto posiblemente ser alguien de la tarea. Hice un curso de la secuencia basada en el Wackerly de texto y me quedó preguntándose acerca de esta prueba durante algún tiempo. Así que pensé que era el momento justo para pedir.

Answer 1

La general de la prueba de esto puede encontrarse en la Feller (Una Introducción a la Teoría de la Probabilidad y Sus Aplicaciones, Vol. 2). Se trata de un problema que implica la inversión de la transformada de Laplace de la teoría. ¿Te diste cuenta de que la mgf tiene un parecido sorprendente con la transformada de Laplace?. Para el uso de la Transformación de Laplace se puede ver Widder (Calcus Vol I) .

La prueba de un caso especial:

Supongamos que X y y son aleatorios varaibles, tanto de tomar sólo valores posibles {$0, 1, 2,\dots, n$}. Además, suponga que X y y tienen el mismo mgf para todo t: $$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)=\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)$$ Por simplicidad, vamos a $s = e^t$ y vamos a definir $c_i = f_X(i) − f_Y (i)$$i = 0, 1,\dots,n$.

Ahora $$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)-\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)=0$$ $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{y=0}^ns^yf_Y(y)=0$$ $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{x=0}^ns^xf_Y(x)=0$$ $$\Rightarrow\sum_{x=0}^ns^x[f_X(x)-f_Y(x)]=0$$ $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xc_x=0~∀s>0$$ El de arriba es simplemente un polinomio en s con los coeficientes de $c_0, c_1,\dots,c_n$. La única forma en que puede ser cero para todos los valores de s si $c_0=c_1=\cdots= c_n=0$.Por lo tanto, tenemos que $0=c_i=f_X(i)−f_Y(i)$$i=0, 1,\dots,n$.

Por lo tanto, $f_X(i)=f_Y(i)$$i=0,1,\dots,n$.

En otras palabras, las funciones de densidad de $X$ $Y$ son exactamente los mismos. En otras palabras, $X$ $Y$ tienen las mismas distribuciones.

Answer 2

El teorema que se está discutiendo es un resultado básico en probabilidad y teoría de la medida. Las pruebas a las que sería más probable encontrar en los libros de la probabilidad o de la teoría estadística. He encontrado el resultado análogo para funciones características dadas en el Hotel Puerto y Piedra pp 205-208

Tucker pp 51-53

y Chung pp 151-155 Esta es la Tercera Edición. Tengo la segunda edición y estoy refiriendo a los números de página en la segunda edición, publicada en 1974.

La prueba de la mgf he encontrado a ser más difícil de encontrar, pero se puede encontrar en Billingley del libro "Probabilidad y Medida" p 342-345. En la página 342 Teorema de 30.1 proporciona el teorema de que las respuestas en el momento del problema. En la página 345 Billingsley estados el resultado de que si una medida de probabilidad tiene un momento de generación de la función M(s) definida en un intervalo que rodea 0, entonces la hipótesis para el Teorema de 30.1 está satisfecho y, por tanto, la medida está determinada por sus momentos. Pero estos momento s está determinado por M(s). Por tanto, la medida está determinada por su momento de generación de la función si M(s) existe en una vecindad de 0. Así que esta lógica junto con la prueba que él da por Theorem30.1 demuestra el resultado. Billingsley también comentar que la solución para el ejercicio de 26.7 en la página 305 es una alternativa a la prueba del teorema de unicidad para el momento de la generación de funciones.