Mapas de Segal para las precategorías de Segal

Question

Una precategoría de Segal es simplemente un espacio simplicial $X:\Delta^{op} \to sSet$ de manera que su $0$ -El espacio de Segal es discreto (es decir, constante). Una categoría de Segal se define en toda la literatura como una precategoría de Segal que satisface la condición de Segal.

En concreto, queremos que los mapas naturales $$\phi_k:X_k \to X_1 \times_{X_0} \cdots \times_{X_0} X_1$$ para ser equivalencias débiles $\forall k\geq2$ .

Hay varias razones para exigir que el codominio sea un límite de homotopía, y en el caso análogo de los espacios de Segal vemos inmediatamente que esto se cumple.

Mi pregunta es: ¿por qué la discreción de $X_0$ implican el codominio de $\phi_k$ ¿es un límite de homotopía? Supongo que puede ser útil saber que $X_0$ es automáticamente fibrante.

¡Gracias de antemano por cualquier pista!

Answer 1

Para cualquier $a,b \in X_0$ , dejemos que $X_1(a,b)$ denotan el subespacio de $X_1$ que se encuentra encima de $(a,b) \in X_0 \times X_0$ . Desde $X_0$ es discreto, este producto fibra iterado se rompe como una unión disjunta de espacios producto: $$ \bigcup_{(a_0, \ldots, a_k)} X_1(a_{k-1}, a_k) \times \cdots \times X_1(a_0,a_1) $$ En general, para que los productos de fibra sean productos de fibra de homotopía solemos exigir que uno de los mapas sea una fibración. Sin embargo, los productos finitos de conjuntos simpliciales preservan todo equivalencias débiles, por lo que se trata automáticamente de un producto de fibra de homotopía.

Si no te gusta este razonamiento, puedes pasar a los espacios topológicos simpliciales, donde cada mapa $Y \to S$ es un fibrado cuando $S$ es discreto .