Duda sobre conjuntos de fórmulas

Question

Tengo esto:

Dos conjuntos de fórmulas $\Sigma$ y $\Gamma$ en la que para cada fórmula $\delta,\Sigma\vdash\delta\iff\Gamma\vdash\delta$ . Suponiendo que $\delta1,\ldots,\delta n$ es una deducción de la fórmula $\delta$ del conjunto $\Sigma$ entonces $\delta1,\ldots,\delta n$ también es una deducción de $\delta$ del conjunto $\Gamma$ .

Así que mi duda es si $\delta$ sólo se puede derivar de $\Sigma$ cuando $\Gamma\vdash\delta$ entonces cómo puede de $\Sigma$ Deducir $\delta$ que se dice más adelante en la pregunta, ¿es esto falso? ¿Hay alguna manera de que un conjunto $\Sigma$ necesita otro juego $\Gamma$ para obtener $\delta$ pero entonces también puede deducir $\delta$ ? No entiendo muy bien esta pregunta.

Answer 1

Desde $\delta \in \Sigma$ implica $\Sigma \vdash \delta$ sabemos que cada elemento de $\Sigma$ es un teorema de $\Gamma$ y viceversa. De esto podemos deducir que $\Sigma$ y $\Gamma$ tendrán los mismos teoremas. Sin embargo, una prueba de $\delta_{1}$ de $\Gamma$ puede requerir varios pasos. En general $\delta_{1}, \cdots, \delta_{n}$ no será una deducción de $\Gamma$ .