Relación entre las álgebras de Heyting y la lógica intuicionista

Question

Podemos asociar una lógica a un álgebra de la siguiente manera:

Dejemos que $(A, \leq)$ sea un álgebra y $D \subseteq A$ un conjunto de elementos designados. Entonces definimos una valoración como $v: Prop \to A$ . Entonces podemos definir la lógica proposicional de $(A, \leq)$ como $L(A,D)= \{ \varphi : v(\varphi)\in D $ para cualquier valoración $v \}$ . Ahora, en el caso de las álgebras booleanas y la lógica proposicional clásica, tenemos el siguiente teorema.

Para cualquier álgebra booleana $B$ tenemos $L(B, \{ 1\})=$ Lógica clásica de la propiedad.

1.) ¿Qué ocurre en el caso de las álgebras heyting H? ¿Obtenemos $L(H, \{ 1\})=$ Lógica prop. intuicionista. ? ¿O tenemos una lógica intermedia en la mayoría de los casos?

2.) ¿La lógica asociada al álgebra de Heyting de tres valores con $\{ 1\}$ como elemento designado validan la ley débil del medio excluido ?

Respecto a (1) creo que en muchos casos se obtienen lógicas intermedias. Consideremos, por ejemplo, el álgebra de Heyting de tres valores $H_3$ entonces $L (H_3, \{1\}) = IPL + (p \to q) \vee (q \to p )$ .

¿Me he perdido algo?

Answer 1

Ciertamente, no siempre obtendrá una lógica intuicionista. Por ejemplo, si $H$ es en realidad un álgebra booleana (no trivial), entonces se obtiene la lógica booleana. Y si $H$ es el álgebra trivial (de 1 elemento) se obtiene algo aún más fuerte que la lógica booleana en la que todo es verdadero. O si $H$ es una cadena con más de un elemento, entonces la lógica que se obtiene satisfará la ley débil del medio excluido pero no la ley del medio excluido ya que la negación de cada elemento es $0$ o $1$ .

En general, las diferentes lógicas que se obtienen corresponden a diferentes conjuntos de identidades que pueden ser verdaderas en un álgebra de Heyting, o en el lenguaje del álgebra universal, las subvariedades de la variedad de álgebras de Heyting. El caso de las álgebras booleanas es un poco especial porque en realidad no tienen subvariedades además de toda la variedad y sólo el álgebra trivial, así que todas las álgebras booleanas no triviales dan la misma lógica. Pero para las álgebras de Heyting hay mucha más variación.