La suma sobre los inversos de n números reales positivos, que es menor o igual a 1, da como resultado un conjunto convexo

Question

¿Es el conjunto

$\left\{(x_1,x_2,\dots,x_n)\in\mathbb{R}_{\geq 1}^n:\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{x_i}\leq 1\right\}$

convexo? Para $n=2$ no es demasiado difícil demostrar la convexidad y supongo que hay que encontrar las transformaciones adecuadas para evitar cálculos complicados. Agradezco las sugerencias de cómo resolver esto o en qué lugar de la literatura podría encontrar la solución.

Mientras leía sobre la convexidad hoy, también me encontré con la desigualdad que Max Alekseyev mencionó en su respuesta (no la conocía antes). He encontrado algunos otros resultados y supongo que también se puede demostrar algo similar al comentario de Pietro Majers. Se puede demostrar que la función

$f(x)=\left(\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{x_i}\right)^{-1}$

es cóncavo ( $x\in\mathbb{R}_{>0}^n$ ). Así que el hipogeo

$H_f=\{(x,y)\in\mathbb{R}_{>0}^n\times\mathbb{R}:y\leq f(x)\}$

es un conjunto convexo. Entonces

$H_f\cap\{(x,1):x\in\mathbb{R}_{>0}^n\}$

es convexo y también lo es la proyección de este conjunto sobre el primer $n$ coordenadas. Este último conjunto era el de la pregunta.

Answer 1

Dejemos que $$X = \left\{(x_1,x_2,\dots,x_n)\in\mathbb{R}_{\geq 1}^n:\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{x_i}\leq 1\right\}.$$

Para demostrar que $X$ es convexo, basta con demostrar que $$\alpha\cdot x+(1-\alpha)\cdot y\in X$$ para cualquier $x,y\in X$ y cualquier $\alpha\in[0,1]$ .

Denote $\beta=1-\alpha$ . Tenemos $\beta\in[0,1]$ también. Está claro que $$\alpha\cdot x+\beta\cdot y = (\alpha\cdot x_1+\beta\cdot y_1, \dots, \alpha\cdot x_n+\beta\cdot y_n)$$ y tenemos que demostrar que la suma de los recíprocos de estos componentes es a lo sumo 1. Para cualquier $i=1,2,\dots,n$ tenemos $$\frac{1}{\alpha\cdot x_i+\beta\cdot y_i} \le \alpha\frac{1}{x_i}+\beta\frac{1}{y_i}$$ como la desigualdad entre medias armónicas y aritméticas ponderadas de $\frac{1}{x_i}$ y $\frac{1}{y_i}$ con los pesos $\alpha$ y $\beta$ respectivamente. Sumando sobre $i$ obtenemos $$\sum_{i=1}^n \frac{1}{\alpha\cdot x_i+\beta\cdot y_i} \le \alpha\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}+\beta\sum_{i=1}^n\frac{1}{y_i} \le \alpha + \beta =1$$ según sea necesario.