Ejemplo de conjuntos compactos en espacios de Hilbert y agotamiento por conjunto compacto

Question

He leído muchas preguntas sobre el hecho de que una bola cerrada y acotada en un espacio de Hilbert genérico no es compacta. Pero nadie aporta un ejemplo concreto de subconjunto compacto que pueda ser utilizado en aplicaciones. Así que pido algunos ejemplos de conjuntos compactos en un espacio de Hilbert (o sólo de Banach) de dimensión infinita.

En particular, dado un conjunto acotado $E$ en el espacio de Hilbert $H$ ¿existe un compacto $K$ tal que $E\subset K$ ? ¿Podemos construir un agotamiento por conjuntos compactos para cualquier espacio de Hilbert?

Answer 1

Cualquier subconjunto cerrado y acotado de un subespacio de dimensión finita de un espacio de Banach es compacto, como cualquier subespacio de dimensión $n<\infty$ es homeomorfo a $\mathbb R^n$ (o $\mathbb C^n$ ).

En cuanto a un ejemplo algo menos trivial: para el espacio de Banach $E$ dado cualquier operador compacto $T$ el cierre de la imagen de la bola unitaria de $E$ es un subconjunto compacto. Como ejemplo, dejemos que $\{e_n\}$ sea una base ortonormal de $\ell^2$ y definir $T:\ell^2\to\ell^2$ por $$Te_n=\frac{1}{n}e_n$$ (de forma más general, sustituyendo $\left\{\frac{1}{n}\right\}$ por cualquier secuencia convergente a cero). Entonces $T$ es compacto, y el cierre de la imagen de la bola unitaria es $T$ .

En cuanto a tu último párrafo, la compacidad es una propiedad hereditaria, en el siguiente sentido: si $K$ es comapacto y $E\subset K$ entonces $\overline{E}$ es compacto. Como ya sabes que la bola unitaria cerrada de un espacio de Banach infinito no es compacta, tienes un contraejemplo.