¿Cómo puedo demostrar que no existe un vector de norma unitaria a una distancia unitaria de un subespacio cerrado de un espacio vectorial de dimensión infinita?

Question

Dejemos que $M$ sea un subespacio lineal cerrado propio de un espacio lineal normado $X$ . Si $X$ es de dimensión finita, es un resultado bien conocido de F.Riesz que existe un vector unitario $x$ tal que dist( $x,M$ )= $inf_{m\in M}\|x-m\|=1$ .

Esto no tiene por qué ser cierto si $X$ es de dimensión infinita. Tengo que demostrar que la elección de

$$ X=\{f\in C[0,1]:f(0)=0\}\\ M=\{f \in X: \int_{0}^1 f=0\} $$ ofrece un contraejemplo. ¿Puede alguien ayudarme con esto?

Para toda función de norma unitaria $f_0$ en $X$ He intentado diseñar una función $g_0 \in M$ tal que $\|f_0-g_0\| < 1-\epsilon $ o $\|f_0-g_0\|>1+ \epsilon$ pero no han avanzado mucho.

Answer 1

Supongamos que $f_0\in X$ y $\|f_0\|_\infty=1$ . Supongamos wlog. que $c:=\int_0^1 f(x)\,\mathrm dx>0$ . Como $f_0(0)=0$ existe $a>0$ tal que $|f_0(x)|<\frac12$ para $0\le x\le a$ . Entonces $$c\le \int_0^1 |f_0(x)|\,\mathrm dx\le \int_0^a |f_0(x)|\,\mathrm dx+ \int_a^1 |f_0(x)|\,\mathrm dx\le \frac a2+1-a<1$$ Consideremos ahora las funciones $g$ de la forma $$g_{q,m}(x)=\max\{f_0(x)-q,-mx\} $$ con $c<q<1$ y $m>0$ y ver cómo $\|f_0-g_{q,m}\|_\infty$ y $\int_0^1g_{q,m}\,\mathrm dx$ se comportan como $q\to 1$ y $m\to\infty$ (es posible que tenga que elegir un camino a $(1,\infty)$ sin embargo).

Answer 2

Dejemos que $B$ sea un espacio de Banach real o complejo, y sea $B^*$ sea su espacio dual. Es decir, $B^*$ es el espacio de los funcionales lineales continuos $g:B\to S$ (donde $S$ es $ R$ para el espacio real $X$ y $ S$ es $ C$ para el espacio complejo $X$ )......For $g\in B^*$ definimos $||g||=\sup \{|g(x)|/||x|| :x \ne 0\}$ . Ahora dejemos que $ M_g=\{x\in X: g(x)=0\}$ Es fácil demostrar que $$(1)... \forall x \in X (|g(x)|=||g||.d(x,M_g))$$ y $$(2)... g\ne 0 \implies \forall x\in X (g(x)\ne 0\implies X=\{s x +y : s\in S\wedge y\in M_g\}.$$ Ahora para $g\neq 0$ decimos que $ g$ alcanza su norma si $$(3)...\exists x (|g(x)|=||g||.||x||\ne 0).$$ Obviamente $g$ alcanza su norma si $\exists x (||x||=1\wedge |g(x)|=||g||\ne 0).$ Y para $ x\in X$ decimos que $x$ alcanza su distancia a $ M_g$ si $$(4)...\exists y\in M_g (||x-y||=d(x,M_g).$$ Ahora, a partir de (1) y (2) podemos demostrar fácilmente: Para cualquier $g\in B^*$ con $ g\ne 0 $ , $$g\text{ attains its norm }\iff$$ $$\forall x\in X (x \text{ attains its distance to } M_g) \iff$$ $$\exists x\in X \backslash M_g (x \text{ attains its distance to } M_g) .$$ En su Q, tenemos $g(f)=\int_0^1 f $ así que demuestra que $||g||=1$ . (Para mostrar $||g||\geq 1$ Considera $f(x)=\min (x,1/n)$ para $ n\in N$ .) Entonces demuestre que ( $g(f)\ne 0\implies |g(f)|<||f||$ ).(Considere que para $f\ne 0$ existe $d>0$ tal que $x\in [0,d]\implies |f(x)|<||f||/2 $ .) Por lo tanto, $$g \text { does not attain its norm.}$$ Por lo tanto, según (1) $$(||f||=1\wedge g(f)\ne 0)\implies 1=||g||.||f||>|g(f)=||g||d(f,M_g)=d(f,M_g).$$ Además, según (4), tenemos $$g(f)\ne 0\implies \forall m\in M_g (||f-m||>d(f,M_g).$$ Así, por ejemplo, podemos tomar cualquier $f\in X$ para lo cual $||f||=1$ y $\int_0^1f\ne 0$ . Por ejemplo $f(x)=x$ para $x\in [0,1]$ .