Aproximaciones para las ecuaciones de movimiento de un péndulo de muelle en 2D

Question

Estoy trabajando en el ejercicio 24 en Mecánica clásica, 3ª ed. por Goldstein, Poole y Safko. Se trata del péndulo de muelle y las aproximaciones a sus ecuaciones de movimiento. Estoy formado más en matemáticas puras que en física y no soy tan bueno en las aproximaciones al estilo de la física como me gustaría. Tengo preguntas sobre las partes (b) y (c), así que citaré todo hasta la parte (c):

Un muelle de longitud de reposo $L_a$ (sin tensión) está conectado a un soporte en un extremo y tiene una masa $M$ unido en el otro. Sin tener en cuenta la masa del muelle, la dimensión de la masa $M$ y se supone que el movimiento se limita a un plano vertical. Supongamos también que el muelle sólo se estira sin doblarse pero puede oscilar en el plano.

• (a) Utilizando el desplazamiento angular de la masa respecto a la vertical y la longitud que se ha estirado el muelle desde su longitud de reposo (colgado con la masa $M$ ), encontrar las ecuaciones de Lagrange.
• (b) Resuelve estas ecuaciones para pequeños estiramientos y desplazamientos angulares.
• (c) Resuelve las ecuaciones de la parte (a) hasta el siguiente orden tanto en el estiramiento como en el desplazamiento angular. Esta parte se puede calcular a mano. Utilizando algunas suposiciones razonables sobre la constante del muelle, la masa y la longitud de reposo, discute el movimiento. ¿Es probable que se produzca una resonancia bajo los supuestos planteados en el problema?

Parte (a): Las ecuaciones que he encontrado son \begin{align*} (l+a)\ddot\theta + 2\dot\theta\dot a + g\sin\theta &= 0 \\ \ddot a - (l+a)\dot\theta^2 + g(1-\cos\theta) + \frac{k}{M}a &= 0. \end{align*} Aquí $\theta$ es el ángulo respecto a la vertical y $a$ es el desplazamiento hacia abajo desde la longitud de reposo $l$ que tiene el muelle al soportar la masa $M$ verticalmente en reposo (por lo que $l=L_a+Mg/k$ ). Por supuesto $k$ es la constante del muelle. Tras cotejarlas con otras soluciones en Internet, estoy bastante seguro de que son correctas.

Parte (b): Se supone que debo hacer algunas aproximaciones, y supongo que debo obtener las ecuaciones \begin{align*} \ddot\theta + \frac{g}{l}\theta &= 0 \\ \ddot a + \frac{k}{M} a &= 0 \end{align*} que están desacoplados y tienen soluciones sinusoidales. Las aproximaciones obvias a realizar son $\sin\theta\approx\theta$ , $\cos\theta\approx 1$ , $l+a\approx l$ . Pero también necesito desechar los términos $2\dot\theta\dot a$ y $-(l+a)\dot\theta^2$ . ¿Hay alguna buena razón para que esto sea legítimo? Lo mejor que se me ocurre es que si sustituyo las soluciones sinusoidales por las ecuaciones exactas, los términos $2\dot\theta\dot a$ y $-(l+a)\dot\theta^2$ tienen amplitudes al cuadrado mientras que los otros términos sólo tienen amplitudes. Y como las amplitudes son pequeñas... ¿es correcto este razonamiento? ¿Hay algún razonamiento mejor?

Parte (c): Necesito una pista sobre cómo "resolver las ecuaciones de la parte (a) hasta el siguiente orden". ¿Qué sustituciones o aproximaciones debo hacer? También: Tal vez no pueda entender esto hasta que obtenga una respuesta a la pregunta que acabo de hacer, pero: ¿por qué la pregunta es sobre la resonancia en esta parte? Mi primer instinto es comparar las dos frecuencias angulares de la parte (b) y ver si están cerca. Si, por ejemplo, fueran iguales, ¿esperaríamos que esto produjera un comportamiento de resonancia o no?

La pregunta en negrita es la que más me gustaría que me ayudaran, pero agradecería cualquier opinión sobre las otras preguntas también.

Answer 1

La forma más sencilla de tener en cuenta todo esto es introducir un parámetro "ficticio" $\epsilon$ que sólo "cuenta lo pequeño que son las cosas". Por lo tanto, comience con su conjunto inicial de ecuaciones completas \begin{align*} (l+a)\ddot\theta + 2\dot\theta\dot a + g\sin\theta &= 0 \tag{1} \\ \ddot a - (l+a)\dot\theta^2 + g(1-\cos\theta) + \frac{k}{M}a &= 0. \tag{2} \end{align*} y, bajo las aproximaciones donde $\theta$ y $a$ son pequeños, sustituya $\theta\to \epsilon\theta$ y $a\to \epsilon a$ . Con este $\dot \theta \to \epsilon \dot\theta$ etc. por lo que sus ecuaciones se convierten en \begin{align*} (l+\epsilon a)\epsilon \ddot\theta + 2\epsilon^2\dot\theta\dot a + g\sin\epsilon\theta &= 0 \tag{3}\\ \epsilon\ddot a - (l+\epsilon a)\epsilon^2 \dot\theta^2 + g(1-\cos\epsilon\theta) + \epsilon\frac{k}{M}a &= 0. \tag{4} \end{align*} A continuación, puede linealizar sus ecuaciones de movimiento, es decir, expandir todo a términos lineal en $\epsilon$ , lo que significa que se tira cualquier cosa $\epsilon^2$ o superior. Esto da inmediatamente \begin{align} \epsilon l\ddot{\theta}+g\epsilon\theta&=0\\ \epsilon \ddot{a}+\epsilon\frac{k}{M}a&=0\, . \end{align} Si has hecho bien el trabajo, el contador $\epsilon$ simplemente se cae (como lo hace aquí). Esto deja claro que los términos de su primera ecuación como $a\ddot{\theta}$ y $\dot{\theta}\dot{a}$ son de tamaño $\epsilon^2$ y puede ser ignorado. Asimismo, esto elimina limpiamente en su segunda ecuación toda la $(l+\epsilon a)\epsilon^2\dot{\theta}^2$ ya que contiene términos en $\epsilon^2$ y $\epsilon^3$ y también mata al $(1-\cos\epsilon \theta)$ plazo.

En problemas como el que tienes, nada sustituye a ser sistemático y llevar un seguimiento cuidadoso de lo que se espera que sea pequeño.

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Edición 1: la resonancia requiere una fuerza motriz externa y la respuesta del sistema a la entrada resonante o casi resonante no es lineal: la amplitud de la oscilación está dominada por un factor no lineal de $1/\sqrt{(\omega^2-\omega_0^2)^2+(\omega_0^2\omega^2/Q^2)}$ que es casi singular cuando el factor de calidad $Q$ es pequeño. Como resultado la suposición de una pequeña amplitud de oscilación cerca de un mínimo del potencial efectivo no es válida y la linealización producirá un sinsentido (terrible solución aproximada).

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Edición 2: Si quieres "el siguiente orden", tienes que resolver por aproximación sucesiva. Voy a esbozar esto sólo para el $\theta$ grado de libertad. Se supone que \begin{align} \theta(t)&=A\cos\omega_\theta t + \epsilon F_\theta(t) \tag{5}\\ a(t)&=B\cos\omega_a t +\epsilon G_a(t) \tag{6} \end{align} (Confío en que la notación sea obvia.) Insertando la Ec.(5) y la Ec.(6) en la ecuación de movimiento para $\theta$ (3), y estableciendo potencias separadas de $\epsilon$ a $0$ Si mi álgebra es correcta, obtienes \begin{align} 0&=\epsilon\,A \cos(\omega_\theta t) \left(g - l\omega^2_\theta\right) \tag{7} \\ 0&=\epsilon^2\left(-A B \omega^2_\theta \cos(\omega_a t)\cos(\omega_\theta t)+g F_\theta(t)+2 A B \omega_a\omega_\theta \sin(\omega_\theta t)\sin(\omega_a t)+ l \ddot{F_\theta}\right)\, . \tag{8} \end{align}

Sorprendentemente (¡y siempre que mi álgebra sea correcta!), esta ecuación se sigue desacoplando en $\epsilon^2$ en el sentido de que sólo implica $F_\theta$ pero no implica $G_a$ por lo que nos queda una ecuación diferencial estándar de 2º orden equivalente a un oscilador conducido.

Los términos en $\cos(\omega_a t)\cos(\omega_\theta t)$ y $\sin(\omega_\theta t)\sin(\omega_a t)$ indican que hay que utilizar como ansatz $$ F_\theta(t)=C \cos\left((\omega_\theta-\omega_a)t\right)+ D \cos\left((\omega_\theta+\omega_a)t\right)\, , $$ (también puede haber términos en $\sin\left((\omega_\theta\pm\omega_a)t\right)$ también en función de sus condiciones iniciales).

Hay que observar con atención si se dan algunas condiciones de resonancia, que invalidarían la suposición de que el término extra $\epsilon F_\theta$ es pequeño. En general, también hay que vigilar la aparición de los llamados secular condiciones. No creo que esto ocurra aquí, pero cuando esto ocurre, uno debe entonces escribir las frecuencias de primer orden $\omega_a$ y $\omega_\theta$ como una serie de la forma $$ \Omega_\theta^2=\omega_\theta^2+\epsilon (\omega^{(1)}_\theta)^2+\ldots $$ en un procedimiento llamado método Lindstedt-Poincare.

Answer 2

B)Es legítimo. Porque para el movimiento lineal, cualquier término de segundo orden o de orden superior se cancelará, como $o(a^2),o(\theta^2),o(a\theta),o(\dot{a}\dot{\theta})$ etc.

c) El siguiente pedido significa que cualquier tercer pedido o términos de pedido superiores serán cancelados. Sólo tiene que ampliar $sin\theta$ y $cos\theta$ a $o(\theta^3)$ se puede obtener una ecuación acoplada. La resonancia sólo se produce cuando la frecuencia natural del sistema es igual a la frecuencia conducida o se aproxima a ella. En el caso del movimiento acoplado, el estiramiento y el movimiento angular se impulsan mutuamente, por lo que se pueden comparar las dos frecuencias.