¿Demostración de que la distribución binomial negativa es una función de distribución?

Question

En mi libro de texto, una prueba clara de que el Distribución geométrica es una función de distribución está dada, a saber

$$\sum_{n=1}^{\infty} \Pr(X=n)=p\sum_{n=1}^{\infty} (1-p)^{n-1} = \frac{p}{1-(1-p))}=1.$$

A continuación, el libro de texto presenta la Distribución Binomial Negativa da una explicación bastante clara de por qué el PMF de una variable aleatoria Binomial Negativa $N$ con el parámetro $r$ es

$$p\binom{n-1}{r-1}p^{r-1}(1-p)^{n-r} = \binom{n-1}{r-1}p^{r}(1-p)^{n-r} $$

Pero para mostrar

$$\sum_{n=r}^{\infty} \Pr(N=n)=\sum_{n=r}^{\infty}\binom{n-1}{r-1}p^{r}(1-p)^{n-r}=1$$

el libro de texto da (en mi opinión) un argumento farragoso e informal que no es ni de lejos tan claro.

¿Cuál es una forma algebraica sencilla de demostrar la afirmación anterior; que la Binomial Negativa es una función de distribución? También miré un libro de texto de probabilidad diferente, más Definición de wolfram.com antes de preguntar.

Answer 1

Es evidente que $\Bbb{P}(N=n)\ge 0$ para $n\ge r$ . Así que tienes que demostrar que $\sum_{n\ge r}\Bbb{P}(N=n)=1$ : $$ \begin{align} \sum_{n\ge r}\Bbb{P}(N=n)&=\sum_{n\ge r} \binom {n-1} {r-1} p^r \left({1-p}\right)^{n-r}\\ &=\sum_{n\ge r} \binom {n-1} {n-r} p^r \left({1-p}\right)^{n-r}\;\;\quad\quad\text{(symmetry})\\ &=p^r\sum_{j\ge 0} \binom {r+j-1} {j} \left({1-p}\right)^{j}\qquad\text{(substituting }j=n-r)\\ &=p^r\sum_{j\ge 0} (-1)^j \binom{-r}{j}\left({1-p}\right)^{j}\qquad\text{(identity}\tbinom{j+r-1}{j}=(-1)^j \tbinom{-r}{j})\\ &=p^r\sum_{j\ge 0} \binom{-r}{j}\left({p-1}\right)^{j}\\ &=p^r\left(1+(p-1)\right)^{-r} \qquad\qquad\qquad\text{(binomial theorem) }\\ &=1 \end{align} $$ utilizando la identidad $$ \begin{align} \binom{j+r-1}{j}&=\frac{(j+r-1)(j+r-2) \cdots r}{j!}\\ &=(-1)^j \frac{(-r-(j-1))(-r-(j-2)) \cdots (-r)}{j!} \\&=(-1)^j \frac{(-r)(-r-1) \cdots (-r-(j-1))}{j!} \\&=(-1)^j \binom{-r}{j} \end{align} $$

Answer 2

Esto se puede mostrar directamente con funciones de generación: $$\left({z\over 1-z}\right)^r=\left( \sum_{\alpha\geq 1} z^\alpha \right)^r =\sum_{\alpha_1,\dots, \alpha_r \geq 1} z^{\alpha_1+\cdots +\alpha_r}=\sum_{n\geq r} {n-1\choose r-1} z^n.$$ La última ecuación se deduce de "estrellas y barras" que le da el número de composiciones de $n$ en $r$ piezas. Ahora sustituye en $z=1-p$ para obtener el resultado.