¿Una caracterización de la estacionalidad?

Question

Acabo de leer una prueba y, tras luchar un rato con un salto mental, creo que utiliza tácitamente lo siguiente:

Dejemos que $\kappa$ ser un cardenal regular, $\theta > \kappa$ un cardenal normal también entonces: $ S \subset \kappa$ es estacionario si y sólo si $\forall \mathcal{A} = (H(\theta), \in, <,..) \exists M \prec \mathcal{A}, |M| < \kappa,$ tal que $sup(M \cap \kappa) \in S$ .

Ahora mis preguntas son:

1. ¿Esta afirmación de arriba es cierta? (Creo que sí, ya que tengo una prueba, pero esto no tiene por qué significar nada)

2. Me parece que la última parte de esta caracterización es una suposición bastante fuerte como $\mathcal{A}$ puede contener mucha información adicional, ¿existe la posibilidad de debilitarla? ¿O podría mencionar alguna declaración similar a la anterior?

Gracias

EDIT: He aceptado la respuesta de Felipe, simplemente porque tiene menos puntos. La respuesta de Francois también lo hubiera merecido.

Answer 1

(Primero quise dar una respuesta, pero no fui lo suficientemente rápido. Luego quise añadir un pequeño comentario y me di cuenta después de 20 minutos de que no tenía suficiente reputación).

El comentario se refería al punto 2) de la consulta original de oktan: tener $H(\theta)$ en la estructura es excesivo: basta con tener $( \kappa, <, \in, C)$ . (No se necesita la estructura para poder expresar $C$ está cerrado").

Answer 2

Sí, la afirmación es cierta.

La dirección de avance está clara desde el conjunto $$C_{\mathcal{A}} = \{\sup(M\cap\kappa) : M \prec \mathcal{A}, |M| < \kappa\}$$ es un club. En efecto, dejemos que $\langle M_\alpha : \alpha < \kappa \rangle$ sea una cadena elemental de submodelos elementales de $\mathcal{A}$ con un tamaño inferior a $\kappa$ tal que:

• $\langle M_\alpha : \alpha < \beta \rangle \in M_{\beta+1}$ por cada $\beta < \kappa$ y
• $M_\gamma = \bigcup_{\alpha<\gamma} M_\alpha$ para cada límite $\gamma < \kappa$ .

Entonces $\langle \sup(M_\alpha \cap \kappa) : \alpha < \kappa \rangle$ enumera un subconjunto cerrado e ilimitado de $\kappa$ que se encuentra en $C_{\mathcal{A}}$ .

Para la inversa, dejemos que $C \subseteq \kappa$ sea un conjunto cerrado no acotado y consideremos la estructura $\mathcal{A} = (H(\theta),{\in},{<},C)$ . Si $M \prec \mathcal{A}$ entonces $M$ satisface " $C$ es cerrado sin límites en $\kappa = \sup C$ y así $C \cap M$ es cerrado sin límites en $\sup(C \cap M) = \sup(\kappa \cap M)$ . De ello se desprende que $C_{\mathcal{A}} \subseteq C$ , donde $C_{\mathcal{A}}$ se define como arriba. Por lo tanto, basta con considerar las estructuras $\mathcal{A}$ como acabo de describir.