Demostrar que la norma del operador no puede ser más larga que len(base) por max(norma(base))norma del operador

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio lineal normado de dimensión finita y sea $T \in \mathscr L (V)$ . Definir la norma del operador de $T$ para ser el número más pequeño $M$ tal que $||T v|| M||v||$ para cualquier $v \in V$ . Escribiremos $||T||$ para significar que el menor número $M$ la norma del operador.

Dejemos que $B = e_1, ..., e_n$ sea una base ortonormal para V, un espacio lineal normado de dimensión $n$ . Sea $T \in \mathscr L (V )$ . Sea $m = Max\{||T e_1||, ||T e_2||, ..., ||T e_n||\}$ . Es decir, $m$ es la longitud del vector más largo vector de la lista $T e_1, ..., T e_n$ . Demostrar que para cualquier vector $v \in V , ||Tv|| mn$ .

Answer 1

Esto puede ser lo que necesitas. Escriba $v = \sum_{i=1}^n v_i e_i $ donde $v_i = \langle v,e_i\rangle$ . Entonces tenemos $$ ||Tv||^2 = ||\sum_{i=1}^n v_i T(e_i)||^2 \leq \sum_{i=1}^n |v_i|^2\sum_{i=1}^n ||T(e_i)||^2\leq ||v||^2nm^2, $$ por la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Por lo tanto, se deduce que $$ ||T||\leq m\sqrt{n}. $$