Verdadero/falso: Que $v,w \in \mathbb{R}^2$ . Si $v \perp w$ entonces tenemos que $\left \| v+w \right \|= \left \| v \right \|+\left \| w \right \|$

Question

Verdadero/falso: Que $v,w \in \mathbb{R}^2$ . Si $v \perp w$ , entonces tenemos que $\left \| v+w \right \|= \left \| v \right \|+\left \| w \right \|$

Creo que en realidad no funciona porque tenemos la desigualdad del triángulo diciendo

$$\left \| v+w \right \| \leq \left \| v \right \|+\left \| w \right \|$$

Pero porque $v$ y $w$ son ortogonales entre sí, tenemos que

$$\left \langle v,w \right \rangle=0$$

Así que la afirmación debe ser cierta porque tenemos que $0=0$ ?

Answer 1

$$\left \| v+w \right \|^2=(v+w)\cdot(v+w)=\left \| v\right \|^2+\left \| w \right \|^2+2v\cdot w$$

Una vez $v\perp w$ entonces $v\cdot w=0$ y entonces tenemos

$$\left \| v+w \right \|^2=\left \| v\right \|^2+\left \| w \right \|^2\le (\left \| v\right \|+\left \| w \right \|)^2$$

Answer 2

Si $v\perp w$ Entonces se puede ver fácilmente que $$ \|v\|^2+\|w\|^2=\|v+w\|^2 $$ (Teorema de Pitágoras). Si además $\|v\|+\|w\|=\|v+w\|$ se mantiene, obtenemos $$ \|v\|^2+\|w\|^2=\|v+w\|^2=\|v\|^2+2\|v\|\,\|w\|+\|w\|^2 $$ por lo que $$ \|v\|\,\|w\|=0 $$ Por tanto, la relación sólo se mantiene cuando uno de los vectores es $0$ .

Answer 3

Si es verdad, tendrías que probarlo para todos $v,w \in \mathbb{R}^2$ tal que $v \perp w$ .

Pero para demostrar que es falsa, basta con mostrar un solo ejemplo en el que la hipótesis sea verdadera pero la conclusión sea falsa.

La cuestión aquí es que las variables $v,w$ no están cuantificados, por lo que el cuantificador por defecto es "para todos".

En otras palabras, la declaración

$\qquad$ "Dejemos $v,w \in \mathbb{R}^2$ . Si $v \perp w$ , entonces tenemos que $\left \| v+w \right \|= \left \| v \right \|+\left \| w \right \|$ ."

tiene el mismo valor de verdad que la afirmación

$\qquad$ "Para todos $v,w \in \mathbb{R}^2$ , si $v \perp w$ entonces $\left \| v+w \right \|= \left \| v \right \|+\left \| w \right \|$ ."

Así que tiene sentido probar la afirmación con un ejemplo, para ver si tiene alguna posibilidad de ser cierta.

Para un caso de prueba simple, dejemos que $v = (1,0)$ y $w = (0,1)$ .

Entonces $v,w \in \mathbb{R}^2$ y $v \perp w$ por lo que la hipótesis se cumple.

Pero $v+w = (1,1)$ , por lo que tenemos

$$\left \| v \right \|=1$$ $$\left \| w \right \|=1$$ $$\left \| v+w \right \|=\sqrt{2}$$

y por lo tanto

$$\left \| v+w \right \| < \left \| v \right \| + \left \| w \right \|$$

Por lo tanto, para este ejemplo, la conclusión falla.

De ello se deduce que la afirmación dada es falsa (ya que no siempre es verdadera).