¿Qué es el conmutador de un corchete de Poisson y la derivada covariante?

Question

Consideremos un campo vectorial clásico $V^\mu$ sobre un fondo curvo. Hacemos una división de coordenadas 3+1 en $t,x^i$ , donde $x^i$ son coordenadas en hipersuperficies espaciales $\Sigma$ y $t$ el parámetro que los etiqueta.

Consideremos ahora una conjugación canónica $$\tilde{\pi}_\mu = \frac{\partial \tilde{\mathcal{L}}}{\partial (\partial_0 \phi^\mu)},$$ donde $\tilde{\mathcal{L}}$ es el escalar lagrangiano (la densidad lagrangiana sería $\mathcal{L} = \tilde{\mathcal{L}} \sqrt{-g}$ ). Entonces se cumple el siguiente paréntesis de Poisson $$\{V^\alpha(x^i,t),\tilde{\pi}_\beta (y^i,t)\} = \frac{1}{\sqrt{d}}\delta^{\alpha}_{\;\beta} \delta^{(3)} (x^i - y^i) $$ donde $\sqrt{d}$ es la raíz cuadrada del determinante de la métrica $d_{ij}$ inducido en $\Sigma$ .

Consideremos ahora el momento total $$P_\mu(t) \equiv \int_\Sigma (\tilde{\pi}_\alpha(x^i,t) V^{\alpha}_{\;\; ;\mu}(x^i,t) - \delta^t_\mu \tilde{\mathcal{L}}(x^i,t)) \sqrt{d} \,d^3\! x$$ donde $V^\alpha_{\;\;;\mu} = \nabla_\mu V^\alpha$ es el gradiente covariante y $d\Sigma = \sqrt{d} \, d^3 \! x$ es un elemento de volumen espacial covariante en $\Sigma$ .

Ahora me gustaría evaluar paréntesis como $\{V^\alpha(y^i,t), P_\mu (t)\},\{P_\mu,P_\nu\}$ o $\{V^{\alpha}_{\;\; ;\mu},P_\nu\}$ para profundizar en esta álgebra. El problema es, sin embargo, que el corchete de Poisson y $\nabla_\mu$ Obviamente no se conmutan porque si intercambio su orden de diferentes maneras, parece que obtengo resultados diferentes en cada caso. Entonces, ¿cómo se obtiene la derivada covariante fuera del corchete de Poisson?

En otras palabras, estoy buscando $A^\alpha_{\; \beta \mu}$ y $B^\alpha_{\; \beta \nu}$ tal que $$\{V^\alpha_{\;\;;\mu}(x^i,t), \tilde \pi_\beta(y^i,t)\} = \nabla^{(x)}_\mu\{V^\alpha (x^i,t), \tilde \pi_\beta(y^i, t)\} + A^\alpha_{\; \beta \mu}$$ $$\{V^\alpha(x^i,t), \tilde \pi_{\beta;\nu}(y^i,t)\} = \nabla^{(y)}_\nu\{V^\alpha (x^i,t), \tilde \pi_\beta(y^i, t)\} + B^\alpha_{\; \beta \nu}$$ ¿Qué son y cómo puedo encontrarlos?

Answer 1

Hubo un error en el supuesto fundacional de la pregunta. (He editado la pregunta original para que la notación concuerde y puedas encontrar definiciones de cantidades allí si no están definidas aquí).

Gran parte de las dificultades del cálculo provienen del hecho de que el momento "propio" canónicamente conjugado se define en realidad como $$\pi_\mu = \frac{\partial (\tilde{\mathcal{L}} \sqrt{-g})}{\partial (\partial_0 V^\mu)} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_0 V^\mu)}\,.$$ Este impulso $\pi_\mu = \tilde{\pi}_\mu \sqrt{-g}$ es entonces una densidad vectorial en $\Sigma$ y el corchete de Poisson se lee $$\{V^\alpha(x^i,t), \pi_\beta (y^i,t)\} = \delta^\alpha_\beta \delta^{(3)}(x^{i} - y^i)\,.$$ Tenga en cuenta que en la pregunta original el $\{V^\alpha(x^i,t), \tilde \pi_\beta (y^i,t)\}$ está mal planteada, porque vemos que tenemos $$\{V^\alpha(x^i,t), \tilde \pi_\beta (y^i,t)\} = \frac{1}{\sqrt{-g}}\delta^\alpha_\beta \delta^{(3)}(x^{i} - y^i)\,.$$ Utilizando las propiedades de la función delta es entonces fácil demostrar que se puede definir el siguiente corchete de Poisson para las funcionales de los campos: $$ A(t)[\pi,\phi] = \int \mathcal{A}(\pi_\alpha,\pi_{\alpha,i}, V^\alpha, V^\alpha_{\;,i},x^i,t) d^3 x $$ $$ B(t)[\pi,\phi] = \int \mathcal{B}(\pi_\alpha,\pi_{\alpha,i}, V^\alpha, V^\alpha_{\;,i},x^i,t) d^3 x $$ $$ \{A(t),B(t)\} = \int \frac{\delta \mathcal{A}}{\delta V^\alpha} \frac{\delta \mathcal{B}}{\delta \pi_\alpha} - \frac{\delta \mathcal{B}}{\delta V^\alpha} \frac{\delta \mathcal{A}}{\delta \pi_\alpha} d^3 x $$ donde $\mathcal{A},\mathcal{B}$ son densidades en $\Sigma$ y $\delta \mathcal{F}/\delta f$ es la derivada variacional \begin{equation} \frac{\delta \mathcal{F}}{\delta f} = \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial f} - \frac{\partial \;}{\partial x^i} \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial (f_{,i})}\,, \end{equation} donde hemos asumido que $\mathcal{F}$ depende únicamente de $f$ y sus gradientes de primer orden (para gradientes de orden superior obtenemos una serie de términos análogos de signo variable). Esto se refiere únicamente a los gradientes espaciales en $\Sigma$ y no los temporales.

Los gradientes temporales pueden eliminarse mediante $field_{,0} = \{field,\mathcal{H}\}$ algunos gradientes de primer orden se podrán eliminar sustituyendo $$\pi_\mu V^{\mu}_{\;,0} - \mathcal{L} = \mathcal{H}\,.$$

En cuanto a los conmutadores de gradientes de campos, con estas variables mejores es fácil calcular $$\{V^\alpha_{\;;\mu}(x^i,t), \pi_\beta (y^i,t)\} = (\delta^\alpha_\beta \partial_{\mu(x)} + \Gamma^\alpha_{\mu\beta})\delta^{(3)}(x^{i} - y^i)$$ $$\{V^\alpha(x^i,t), \pi_{\beta|\mu} (y^i,t)\} = (\delta^\alpha_\beta \partial_{\mu(y)} - \Gamma^\alpha_{\mu\beta})\delta^{(3)}(x^{i} - y^i)\,,$$ donde el símbolo $\pi_{\beta|\mu}$ representa una derivada pseudocovariante $\pi_{\beta|\mu} = \pi_{\beta,\mu} - \Gamma^\gamma_{\mu\beta} \pi_\gamma$ (recuerda que $\pi_\mu$ no es una cantidad covariante) y por supuesto $\partial_0 \delta^{(3)} = 0$ . Esta derivada resulta muy útil en el cálculo de muchos soportes.