Demostrar que los anillos isomorfos tienen la misma característica

Question

Si $\phi: A \to B$ es un isomorfismo de anillo, tengo que demostrar que $\operatorname{char} A= \operatorname{char} B$ .

Sé que un isomorfismo $\phi$ es biyectiva y: $$\phi(x+y)=\phi(x)+ \phi(y)$$ $$\phi(x*y)=\phi(x)*\phi(y)$$ $$\phi(1)=1$$

He supuesto que $\operatorname{char} A=n$ Así que..: $n1=\underset{n\text{ times}}{\underbrace{1+1+\ldots+1}}=0$ en $A$ .

Como $\phi$ es suryente, $n1\in A$ existe, donde $x=\phi(n1)$ .

Ahora, $\phi(n1)=\phi(0)=\phi(1+1+\ldots+1)=\phi(1)+\ldots+\phi(1)=n*\phi(1)=n$ .

No sé si esto es correcto y si así se termina la prueba. ¿Podríais ayudarme, por favor?

Answer 1

Parte 1: Tome $1_B$ y mostrar que si lo sumas $n$ veces que se obtiene $0_B$ .

Parte 2: Demuestra que si sumas $1_B$ un total de $m$ tiempos para $m < n$ entonces no tienes $0_B$ .

Para la primera parte, la prueba podría ser algo así:

Observar $1_B = \phi(1_A)$ . Entonces

$$1_B + \cdots + 1_B = \phi(1_A) + \cdots + \phi(1_A) = \phi(1_A + \cdots + 1_A) = \phi(0_A) = 0_B$$

donde cada suma tiene $n$ términos. ¿Puedes justificar cada una de las igualdades anteriores?

Answer 2

Desde $R\cong S$ existe un isomorfismo de anillo $\theta:R\longrightarrow S$ .

Supongamos que $\operatorname{Char}(R)=n>0$ . Sea $b\in S$ . Desde $\theta$ es suryente, existe algún $a\in R$ tal que $b=\theta(a)$ . Entonces, $nb=n\theta(a)=\theta(na)=\theta(0_R)=0_S$ . Así que, $0<\operatorname{Char}(S)\leq n$ .

Supongamos ahora por contradicción que $\operatorname{Char}(S)=m$ con $0<m<n$ . Entonces, para todos los $a\in R$ observe que $$m\theta(a)=0_S\iff m\theta(a)=0_S \iff \theta(ma)=0_S \iff \theta(ma)=\theta (0_R) \iff ma=0_R,$$ desde $\theta$ es inyectiva. Esto es una contradicción por la minimidad de $n$ . Por lo tanto, $m\geq n$ . Así que, $\operatorname{Char}(S)\geq n$ y como vimos que $\operatorname{Char}(S)\leq n$ finalmente tenemos $\operatorname{Char}(S)= n$ .

Supongamos ahora que $\operatorname{Char}(R)=0$ . Si fuera $\operatorname{Char}(S)=n>0$ , entonces como antes para todos $a\in R$ tendríamos $n\theta(a)=0_S$ si $na=0_R$ . Así, $\operatorname{Char}(R)>0$ contradicción. Así que $\operatorname{Char}(S)=0$ .

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Nota: Esta es una buena manera de demostrar que dos anillos no son isomorfos. Por ejemplo, $\mathbf{Z}_4$ y $\mathbf{Z}_2\times \mathbf{Z}_2$ no son isomorfas ya que $4=\operatorname{Char}(\mathbf{Z}_4)\neq \operatorname{Char}(\mathbf{Z}_2\times \mathbf{Z}_2)=2$ .

Espero que eso ayude.

Answer 3

La característica de un anillo $\mathcal R $ es el número entero no negativo $n $ tal que $\rm {ker}(h) =(n) $ , donde $h $ es el único homomorfismo $\mathbb Z\longrightarrow\mathcal R $ .

Entonces, si $j:\mathbb Z\longrightarrow\mathcal S $ es el homomorfismo correspondiente para $S $ , donde $\mathcal R\stackrel i{\cong }\mathcal S $ tenemos un par de triángulos conmutativos, y fácilmente obtenemos $(n)\subset (s) $ y $ (s)\subset (n) $ para que $(n)=(s) $ , donde $s=\rm {char}\mathcal S $ .

Esto se deduce de la propiedad universal de los objetos iniciales, ya que $\mathbb Z $ es un objeto inicial en la categoría de anillos, $\bf {Ring} $ .